با توجه به فرضیات سوال $f$ یک تابع کراندار با نمودار بسته باشد، آنگاه $f$ پیوسته است.
داریم $ x_n\to x $ و $ \{(x_{n_k},f(x_{n_k}))\} $ به $ \{(x,f(x)\} $ همگرا هستند.
اگر زیر دنباله ی دیگری از $ \{(x_n,f(x_n))\} $ همگرا باشد مثلا $ \{(x_{n_t},f(x_{n_t}))\} $ و به $ ( x_{1} , f(x_{1}))$ همگرا باشد یعنی $\{x_{n_t} \}$ به $ x_{1} $ همگراست اما از آنجایی که $ x_n\to x $ داریم که $ x_{1}=x$ یعنی هر زیر دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ به
$ ( x , f(x))$ همگراست لذا داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .
اما در حالت کلی درست نیست:
دنباله ی $ \{x_{n} \} $ را بصورت زیر در نظر میگیریم:
$$x_{n} =\begin{cases}0 & n = 2k\\ \frac{1}{n} & n=2k+1\end{cases} $$
بوضوح داریم:$ x_n\to 0 $
حال فرض تابع $ f $ بصورت زیر باشد:
$$ f(x )=\begin{cases}0 & x = 0\\ \frac{1}{x} & x \neq 0\end{cases} $$
اگر زیر دنباله ی جملات زوج $ \{x_{n} \} $ را در نظر بگیریم داریم : $ f(x_{2n})\to 0 $ اما زیر دنباله ی جملات فرد با وجود اینکه همگرا هستند $ f(x_{2n+1})$ به بینهایت میل می کند. و لذا حکم برقرار نیست یعنی
$ f(x_{n}) $ به $ f(0) $ میل نمی کند.
در واقع شرط کراندار بودن $f$ یک شرط اساسی است که در مثال بالا این شرط برقرار نیست.
