فرض عملگر خطی $ \phi $ فشرده باشد. ثابت میکنیم اگر مقدار حد صفر نباشد آنگاه عملگر خطی $ \phi $ فشرده نیست.لذا باید حد صفر باشد.
فرض کنید $ lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} \neq 0 $ باشد لذا طبق تعریف $ \epsilon > 0 $ و زیر دنباله ای مانند $ \{\lambda _{ n_{k} }\} $ موجود ند به طوریکه $ \mid \lambda _{ n_{k} } \mid \geq \epsilon $ .
حال دنباله ی $\{e _{k }\} $ را در نظر میگیریم .( $e _{k } $ برداری است که مولفه ی $ k $ ام آن $1$ و مابقی مولفه ها صفر هستند) طبق تعریف $ \phi $ مقدار $ \phi(e _{k }) $ برداری است که مولفه ی $ k $ ام آن $\lambda _{k}$ و مابقی مولفه ها صفر هستند.بنابر این برای هر $ i,j $ که $\lambda _{i} $ و $ \lambda _{j}$ در زیر دنباله ی ذکر شده هستند داریم:
$ || \phi(e _{i })- \phi(e _{j })||_{p} \geq \sqrt[p]{2} \epsilon $
حال گوی های باز به مرکز $ \phi(e _{n_{k} }) $ و شعاع $ \frac{ \epsilon }{2} $ رادر نظر میگیریم در واقع نامتناهی گوی باز جدا از هم رو در $ \overline{ \phi( B_{l^{p} } )} $ ساخته ایم و این نشان میدهد که
$\overline{ \phi( B_{l^{p} } )} $ فشرده نیست اما طبق تعریف عملگر فشرده باید بستار تصویر هر مجموعه ی کراندار، فشرده باشد یعنی عملگر فشرده نیست و این با فرض مساله در تناقض است لذا حد دنباله ی اصلی برابر صفر است.
برعکس:
فرض کنید $ lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} =0 $ باشد نشان میدهیم عملگر $ \phi $ فشرده است. تعریف میکنیم:
$$ \phi _{n} (e _{k } ) =\begin{cases} \lambda _{k} e _{k } & k \leq n\\0 & k> n\end{cases} $$
از آنجایی که $ \phi_{n}$ دارای رنک متناهی است لذا فشرده است. برای هر $ x=( x_{1} , x_{2} , x_{3} ,...) $ داریم:
$$|| (\phi- \phi_{n})(x)||^{p}= \sum_{k=1}^{+ \infty } { \mid < ((\phi- \phi_{n})(x))_{k} > \mid }^{p} = \sum_{k \geq n+1}^{} \mid (\phi- \phi_{n}(x_{k} )) \mid^{p} \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid^{p} \parallel x \parallel_{l^{p}} ^{p} $$
بنابر این
$ \parallel (\phi- \phi_{n})(x) \parallel \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid $ یعنی $\phi_{n} $ به $ \phi$ در نرم همگراست و میدانیم حد (در نرم) یک دنباله از عملگرهای فشرده، خود فشرده است. و لذا حکم ثابت شد.
