به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
78 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

حجم محصور بین دو رویه$ z= 8-x^{2}- y^{2} $ و$ z= x^{2}+3y^{2} $ را بیابید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

توجه کنید که هر دو رویه نسبت به دوران حول محور $z$ها ناوردا هستند. در $x=y=0$ رویهٔ یکم بالاتر از رویهٔ دوم است و هر چه از این نقطه بر روی صفحهٔ $xoy$ دورتر می‌شویم این دو رویه نزدیک‌تر می‌شوند تا به بیضیِ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ می‌رسیم، در این هنگام دو رویه همدیگر را قطع می‌کنند (این بیضی از حل‌کردنِ $x^2+3y^2=8-x^2-y^2$ بدست آمده‌است). پس از این بیضی رویهٔ دوم از رویهٔ یکم بالاتر می‌رود و دیگر همدیگر را قطع نمی‌کنند. پس شکلی که می‌خواهید ناحیهٔ بین این دو رویه در محدودهٔ داخل این بیضی است. پس یک انتگرال دوگانه با ناحیهٔ داخل این بیضی دارید که تابعی که از آن انتگرال می‌گیرید $(8-x^2-y^2)-(x^2+3y^2)$ است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...