اگر $U$، $K$، $S$، $M$ و $C$ پنج رقم نایکسان باشند و $\overline{UKSMC}\times 4=\overline{CMSKU}$، آنگاه $S$ چه عددی است؟

Question

در ضرب زیر حروف $U$، $K$، $S$، $M$ و $C$ معرف رقم‌های متمایزی هستند. حرف $S$ معرف چه عددی است؟

$$\overline{UKSMC}\times 4=\overline{CMSKU}$$

Answer 1

من به جای حرف‌هایی که شما استفاده کردید از $x,y,z,w,u$ استفاده می‌کنم. چیزی که شما نوشتید را ساده‌تر بیان کنیم یعنی $$4(10000x+1000y+100z+10w+u)=10000u+1000w+100z+10y+x$$ اگر آن را ساده‌کنید یک عبارت خطی که چندجمله‌ای درجهٔ یک است (و البته چندمتغیره) خواهید داشت. من ارقام را به ۱ تا ۹ محدود می‌کنم برای ساده‌تر کردن حل (اگر ۰ را نیز مجاز کنید باید شروط را تغییر دهید که دستگاه برابری‌ها (معادلات) زیر نیز تغییر خواهد کرد). اینکه هر یکی از متغیرها مثلا $x$ می‌تواند مقداری بین ۱ تا ۹ بگیرد هم‌ارز با این است که $x$ باید ریشهٔ چندجمله‌ایِ $\prod_{i=1}^9(x-i)$ باشد. پس به ۵ چندجمله‌ای به این شکل مربوط به این شرط‌ها و چندجمله‌ای خطی بالا را برمی‌داریم. پاسخ‌های پرسش شما در واقع پاسخ‌های این دستگاه برابری‌های (معادلات) هستند.

پس تا اینجا پرسش شما به حل یک دستگاه از برابری‌ها تبدیل شد.

برای حل دستگاه‌های چندجمله‌ای راه‌های زیادی است، یکی از آنها استفاده از elimination theory است. و یکی از ایده‌ها برای این مسیر استفاده از پایه‌های گروبنر و ترتیب واژه‌نامه‌ایِ سره است. این روش شبیه روش حذفی گاوس در حل دستگاه‌های خطی است. یکی از متغیرها را بزرگتر از بقیه می‌گیرید و پایهٔ گروبنر با این ترتیب واژه‌نامه‌ای را محاسبه می‌کنید. چندجمله‌ای‌ِ تک‌متغیره بر حسب این متغیر در پایه را برداشته (اگر چنین چندجمله‌ای نبود آنگاه چندجمله‌ای ثابت صفر را بردارید) و ریشه‌هایش را محاسبه می‌کنید. سپس برای متغیرهای باقیانده نیز این کار را تکرار کنید. نقاطی که مختصاتشان این پاسخ‌ها هستند را امتحان می‌کنیم و مجموعه‌ٔ پاسخ‌ها را خواهید داشت (البته روش‌های زیادی داریم مانند RUR که از آقای Fabrice است یا CAD و غیره). مرحلهٔ آخر که امتحان کردن است را نیز می‌توانستیم الگوریتم‌وار خودکار بدون جایگذاری در دستگاه برابری‌ها انجام دهیم یعنی با حذف نقاط در بینهایت و غیره که نیازمند بحث فضاهای تصویری است.

به هر حال برای پرسش شما تنها نکته تشکیل ۶ چندجمله‌ای است و سپس تایپ دستورها در یک نرم‌افزار. در زیر محاسبه با نرم‌افزار Maple را قرار داده‌ایم.

همانطور که می‌بینید برای هر متغیر یک چندجمله‌ای درجهٔ یک داریم که یک ریشه و یک انتخاب می‌دهد. یک ۵-تایی مرتب برای امتحان کردن داریم یعنی $(2,1,9,7,8)$ که در دستگاه صدق می‌کند (البته اگر بیشتر از هندسهٔ جبری بدانید این دستگاه نقطه در بینهایتی ندارد و این نقطه مطمئنا پاسخ است).

Answer 2

اینکه هر دو عدد 5 رقمی هستند نشان می دهد که $ 4U < 10$ یعنی $ U < 3 $

اما از طرف دیگر یکان حاصلضرب $4C$ برابر $U$ است که در مضارب 4 یکانی برابر با $1$ ظاهر نمی شود پس نتیجه می شود که $$U=2$$

پس ازاینکه یکان حاصلضرب $4C$ برابر $2$ است داریم: $C $ یا $3$ یا $8$ است. از آنجایی که $C \geq 4U=8 $ پس $C=8$ و این یعنی هیچ دهگانی از ضرب $4$ در $K$ به $4U$ اضافه نشده است یعنی $ 4K < 10 $ پس باز $ K < 3 $ است.

یکان $4M+3$برابر است $K$ یعنی یا$1$ یا $2$ است. اما از آنجایی که $4M+3$ فرد است این یکان برابر $1$ است. پس $M $ برابر $2$ یا $7$ است

اما از طرف دیگر داریم $M \geq 4K$ و این یعنی $M=7$

یکان $4S+3$ برابر $ُُS$ است از آنجایی که $4S+3$ فرد است پس $ُُS$ فرد است. که فقط $9$ امکان پذیر است.

Answer 3

$ 21978 \times 4=87912 $

پس رقم s ، برابر9 است

Comments

ممنون.میشه روش حل خودتون رو توضیح دهید

---

من از روش منطق و امکان حالات و آزمون وخطا پیش رفتم
مثلأ 4 باید در عددی ضرب شود که رقم صدهزارهافقط 1 یا 2 می تواندباشدو...