تعداد مثلث هایی که با راس های یک مکعب ساخته شده و متعلق به یک وجه نیستند.

Question

با راس های یک مکعب چند مثلث میتوانیم بسازیم اگر بخواهیم هر سه راس متعلق به یک وجه مکعب نباشد؟
توضیحات و تلاش من: من از دو راه سوال را حل کردم . راه اول این بود که حالات انتخاب سه نقطه از ۸ راس مکعب را در نظر گفتم ( ۵۶ ) و تعداد مثلث های که هر سه راسشان متعلق به یک وجه است ( ۲۴ ) از ان کم کردم که حاصل ۳۲ می شود. راه دیگر انکه یک ضلع مثلث را یکی از قطرهای مکعب در نظر گرفتم که در اینصورت راس سوم مثلث هر کدام از شش راس دیگر میتواند باشد و در اینصورت جواب ۲۴ :۶*۴ می شود. علت این اختلاف در این دو راه حل چیست؟ و به چه علت با راه حل اول تعداد مثلث ها اضافه شمرده می شوند؟

Answer 1

دلیل این است که تمامی سه‌گوش‌هایی که در یک وجه قرار نگیرند الزاما یکی از قطرهای مکعب را به عنوان یال ندارند. به شکل زیر نگاه کنید.

در واقع برای هر گوشه از مکعب یک سه‌گوش که در وجهی قرار نگیرد و قطری را به عنوان یال نداشته‌باشد وجود دارد. بنابراین ۸ سه‌‌گوش را در شمارش دوم‌تان از قلم انداخته‌اید.

Comments

با حرف شما کاملا موافقم و جواب من نیز همین است . اما کتابی که پرسش را از ان ذکر کردم جواب ۲۴ را به عنوان پاسخ درست در نظر گرفته است. در قسمت مرجع مشخصات سوال را اضافه کردم.

---

@Mohammadamin خیلی خوب که مرجع را افزودید، ولی متأسفانه ایران نیستم که دسترسی داشته‌باشم، شاید سایر دوستان بتوانند نگاهی بیندازند.
اگر در پرسش به جای در یک وجه نبودن نوشته شده بود که یک یال آن به هیچ وجهی متعلق نباشد آنگاه پاسخ کتاب درست می‌بود.