با استفاده از تعریف حد ثابت کنید $\lim_{t\to 3}t^2+t=12$

Question

دامنه ای به صورت $0 < | t-c | < \delta $ به طوری که وقتی t محدود به این دامنه باشد تفاضل عددی بین $t^{2} +t$ و 12 کوچک تر از

الف)1/1باشد.

ب)$ \epsilon $ باشد که$ \epsilon $ میتواند هر عدد مثبت دلخواهی باشد.

$ t^{2}+t $=(f(t

c=3

L=12

Comments

لطفا تلاش خودتون رو هم بنویسید از این به بعد.

---

چشم
از راهنماییتون هم ممنونم شما خیلی قشنگ به سوالات جواب میدید.

Answer 1

سوال کمی گنگ نوشته شده ولی گویا منظور این است به کمک تعریف حد ثابت کنیم که $$\lim_{t\to 3}t^2+t=12$$

فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد در اینصورت باید $\delta>0$ بیابیم که اگر $t$ در همسایگی محذوف $0< |t-3|< \delta$ انتخاب شود آنگاه $$|t^2+t-12|< \epsilon$$

که رابطه اخیر هم ارز است با $|(t+4)(t-3)|=|t+4||t-3|< \epsilon$ خوب باید به نحوی از شر $|t+4|$ خلاص شویم! کافی است یک کران بالا برای آن پیدا کنیم. مثلا اگر $\delta< 1$ انتخاب کنیم آنگاه از $||t|-3|< |t-3|< 1$ داریم $|t|< 4$ و لذا $|t+4|\leq |t|+4< 4+4=8$ (می تونستید مثلا $\delta< 2$ انتخاب کنید که در اینصورت به $|t+4|< 9$ می رسیدید و یا هر $\delta$ ی دیگری)

لذا با در نظر گرفتن $\delta < 1$ داریم

$$|t+4||t-3|< 8|t-3|< \epsilon$$ اگر و تنها اگر $|t-3|< \frac \epsilon 8$ لذا کافی است $\delta< \min\{1, \frac \epsilon 8\}$ انتخاب کرد.

برای $\epsilon=1.1$ بنابر آنچه نشان دادیم کافی است $\delta< \min\{1, \frac\epsilon8 \}=\min\{1, \frac{1.1}8\}=\frac{1.1}8$ انتخاب کنید.