برای بدست آوردن مقدار ویژه توجه کنید که اگر $ \lambda $ یک مقدار ویژه باشد داریم بردار غیر صفر $ x=[ x_{1} , x_{2} ,... ,x_{N} ]^{T} $ وجود دارد که $Ax= \lambda x $ است.
یعنی
$(A- \lambda I)x=0 $ پس داریم:
$$ \begin{bmatrix}b-\lambda & c& 0& 0& ... & 0& 0& 0\\a & b-\lambda& c& 0& ... & 0& 0& 0\\0 & a & b-\lambda& c& ... & 0& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &...& \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0& 0& 0& ...&a&b-\lambda&c \\0 & 0& 0& 0& ...& 0&a&b-\lambda\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{N-1} \\ x_{N} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
لذا داریم:
$$ \begin{bmatrix} (b-\lambda)x_{1}+cx_{2} \\ax_{1}+(b-\lambda)x_{2}+cx_{3} \\ ax_{2}+(b-\lambda)x_{3}+cx_{4} \\ \vdots \\ ax_{N-2}+(b-\lambda)x_{N-1}+cx_{N} \\ ax_{N-1}+(b-\lambda)x_{N} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
با تعریف $x_{0} =x_{N+1}=0 $ هرسطر برای هر $ 1 \leq j \leq N$ بصورت زیر بدست می آید:
$$ax_{j-1}+(b-\lambda)x_{j}+cx_{j+1}=0 $$
میدانیم جواب چنین معادله ای را میتوان بصورت ریشه ی چند جمله ای مشخصه ی $ p(r)=c r^{2} +(b-\lambda)r+a $ بدست آوریم و اگر فرض کنیم ریشه ی $ p(r) $ بصورت $ r_{1} $ و $ r_{2} $ باشند آنگاه جواب معادلات متفاوت اولیه بصورت $ x_{j}= \alpha r_{1}^{j} + \beta r_{2}^{j}$ است.
میدانیم $x_{0} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم:
$$0= x_{0}= \alpha r_{1}^{0} + \beta r_{2}^{0}= \alpha+ \beta \Rightarrow \beta=- \alpha$$
یعنی معادله ی کلی بصورت $ x_{j}= \alpha( r_{1}^{j} - r_{2}^{j})$ است و چون میدانیم $ x \neq 0$ لذا باید $ \alpha $ مخالف صفر باشد.
میدانیم $x_{N+1} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم:
$$x_{N+1}= \alpha( r_{1}^{N+1} - r_{2}^{N+1}) \Rightarrow ( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=1 $$
ریشه های $ p(r) $ (با روش دلتا) بصورت زیر هستند.
$$ r_{1}= \frac{-(b-\lambda)+ \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$
$$ r_{2}= \frac{-(b-\lambda)- \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$
و میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصلضرب ریشه ها برابر عدد ثابت تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی $r_{1}r_{2} = \frac{a}{c} $ حال داریم:
$$1=( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{ r_{1}r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}} )^{N+1} $$
که جواب کلی معادله ی آخر در اصل بصورت مختلط است و داریم:
$$ \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}}= e^{2\pi i (\frac{k}{N+1}) } \Rightarrow r_{1,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) } \ \ \ , \ \ \ \ r_{2,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) } $$
میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصجمع ریشه ها برابر قرینه ی ضریب $ x$ تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی
$ r_{1,k} +r_{2,k} = \frac{-(b-\lambda)}{c} = \frac{\lambda _{k} -b}{c}$ که با جایگذاری داریم:
$$ \sqrt{\frac{a}{c}}( e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) }+e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) })= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$
$$ \sqrt{\frac{a}{c}}(2cos(\frac{k}{N+1}) )= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$
$$ \lambda _{k} = b+2 \sqrt{ac} cos( \frac{k \pi}{N+1} ) \qquad k=1 ,\ldots ,N $$
