اگر ميانه،ارتفاع و نيمساز همرس باشند ثابت كنيد مثلث ، متساوي الاضلاع است.

Question

ارتفاع AK , نيمساز BL و ميانه CM در مثلث ABC در نقطه O همرس اند . درضمن AO=BO ثابت كنيد مثلث ABC مثلث متساوي الاضلاع است.

Answer 1

مثلث های AOM و BOM به دلیل سه ضلع برابرند و زاویه M1=M2=90

مثلثBOK هم به دلیل وتر و یک زاویه تند با قبلی ها برابر است. پس:

$ \widehat{O1} = \widehat{O2} = \widehat{O3} =60$

زوایای O4 ,O5, O6 به ترتیب با محاسبه 180-120=60 بدست می آیند.

مثلث COK بدلیل زض ز باقبلی ها برابر

مثلث های AOL و COL هم بنابر ض ز ض برابرند. پس زاویه L1=L2=90

پس :

$ \widehat{A1} = \widehat{A2} = \widehat{B1} = \widehat{B2} = \widehat{C1} = \widehat{C2} = \frac{180}{6} =30$

پس:

$ \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} =60$

Answer 2

---

چرا خودتون فکر نکردید؟ کمی فکر میکردید به جواب میرسیدید.

میدانیم در مثلث متساوی الساقین میانه همان ارتفاع است و در مثلث $AOB$، $AO=BO$ و $OM$ میانه است، پس ارتفاع هم هست. بنابراین در مثلث $ABC$ هم، $OM$ هم میانه است هم ارتفاع. بنابراین $CA=CB$.

چون $CM$ بر $AB$ عمود است و $AK$ هم بر $BC$ و در مثلث ارتفاع ها همرس هستند پس $BL$ هم ارتفاع است و چون هم ارتفاع است و هم نیمساز پس $BA=BC$.

از این دو نتیجه ثابت میشود $AB=BC=CA$. حکم ثابت شد.

Comments

دو جملهٔ زیر را در در نظر بگیرید:
۱- «در سه‌گوش‌ها، سه ارتفاع همرس هستند.»
۲- «اگر پاره‌خطی رسم‌شده از یک گوشهٔ سه‌گوش با دو ارتفاع دیگر همرس شد، آنگاه این پاره‌خط نیز ارتفاع است.»
جملهٔ ۱ و جملهٔ ۲ هم‌معنی یا هم‌ارز‌ منطقی نیستند. بنابراین نمی‌توانید از (۱) نتیجه بگیرید که چون CM و AK و BL همرس و CM و AK ارتفاع هستند، BL نیز ارتفاع است.
بنابراین شما باید یا (۲) را اثبات کنید یا اگر در کتاب درسی آورده‌شده‌است به آن ارجاع دهید نه به (۱).

در مورد پاراگراف قبلش نیز احتمالا شما از «یک سه‌گوش، متساوی‌الساقین است اگر و تنها اگر ارتفاع و میانهٔ وارد بر یال سومش منطبق شوند» استفاده می‌کنید نه فقط «در سه‌گوش‌های متساوی‌الساقین، ارتفاع و میانهٔ وارد بر یال سوم بر هم منطبق هستند»، چون در جملهٔ آخر از سمت برعکسِ این گزاره استفاده کرده‌اید و نتیجه گرفته‌اید که $CA=CB$.

---

@AmirHossein
بله درست میگید. ولی خب بازم اثبات درسته.