عد ۲ به توان ۴۰ به اضافه یک اول است یا مرکب؟

Question

عدد $۲^{۴۰} +1$ اول است یا مرکب؟ با دلیل

Answer 1

به اتحاد زیر توجه کنید: $$a^5+1=(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$$ اکنون به جای $a$ قرار دهید $2^8$، بنابراین $257$ عدد $2^{40}+1$ را می‌شمارد. پس عدد گفته‌شده در پرسش اول نیست.

Comments

در حالت کلی اگر $2^n+1$  اول باشد، آنگاه باید  $n$ توانی از $2$ باشد.

---

@Under sky البته هر عدد فرمایی نیز اول نیست برای نمونه $2^{2^5}+1$ اول نیست.

---

@AmirHosein - ممنون، کاملا درسته.