اگر$\int_0^{ \infty } \frac{\sin \ x dx}{x} = \frac{\pi}{2}$ حاصل انتگرال های زیر را بیابید؟

Question

اگر $ \int_0^{ \infty } \frac{\sin \ x dx}{x} = \frac{\pi}{2} $ انتگرالهای زیر را بدست آورید؟

الف) $$ \int_0^{ \infty } \frac{\sin \ x^{3} dx}{x} $$

ب) $$\int_0^{ \infty } (\frac{\sin \ x }{x} )^{2} dx$$

Answer 1

از تغییر متغیر $x^3=u $ استفاده میکنیم.در اینصورت $ dx= \frac{du}{3x^2} $ درنتیجه داریم:

$ \int_0^ \infty \frac{sinx^3}{x}dx= \int_0^ \infty \frac{sinu}{3x.x^2}du= \frac{1}{3} \int_0^ \infty \frac{sinu}{u} = \frac{ \pi }{6} $

انتگرال دوم هم بطور مشابه با تغییر متغیر بدست میاد.

Answer 2

برای حل الف قرار میدهیم $ \theta = x^{3} \Rightarrow x= \sqrt[3]{\theta} $ لذا $ dx= \frac{d\theta}{3 \sqrt[3]{ \theta^{2} } } $ با جایگذاری در الف بدست می آید: $$الف) \int_0^{ \infty } \frac{sin \ x^{3} dx}{x} = \int_0^{ \infty } \frac{sin \theta d\theta}{\sqrt[3]{\theta}3 \sqrt[3]{ \theta^{2} }} = \frac{1}{3} \int_0^{ \infty } \frac{sin \ \theta d\theta}{\theta} = \frac{\pi}{6} $$

برای ب از جز به جز استفاده میکنیم.

قرار میدهیم: $U= sin^{2}x $ و $dV= \frac{dx}{ x^{2} } $ لذا $dU=2(sin \ x )(cos \ x)=sin \ 2x $ و $V= \frac{-dx}{x} $ پس داریم:

$$\int_0^{ \infty } (\frac{sin \ x }{x} )^{2} dx= \int_0^{ \infty } \frac{sin^{2} x }{ x^{2} } dx= \frac{-sin^{2}x }{x} { | }^{\infty } _{0} +\int_0^{ \infty } \frac{sin \ 2x }{ x } dx$$

که

$ \frac{-sin^{2}x }{x} { | }^{\infty } _{0} = \lim_{b \rightarrow \infty } \frac{-sin^{2}b }{b} - \lim_{a \rightarrow 0} \frac{-sin^{2}a }{a} =0-0=0$

و مقدار انتگرال برابر است با ($ 2x=u $ ) $$\int_0^{ \infty } \frac{sin \ 2x }{ x } dx=4\int_0^{ \infty } \frac{sin \ u }{ u } du= \frac{\pi}{8} $$ یعنی داریم:

ب) $ \int_0^{ \infty } (\frac{sin \ x }{x} )^{2} dx=0+\frac{\pi}{8} $