قضیهٔ ۲.۵.۳ کتاب matrix analysis نوشتهٔ Roger Horn و Charles Johnson ویرایش دوم را نگاه کنید، همارز بودن بندهای الف و ب نتیجه میدهد که؛
یک ماتریس نرمال است اگر و تنها اگر بوسیلهٔ یک ماتریس یکه قطریشدنی باشد.
که البته اثبات آن با استفاده از لم ۲.۵.۲ که پیش از آن مطرح شدهاست آسان است. اکنون توجه کنید که دو ماتریس که بوسیلهٔ ماتریس یکه قطریشدنی باشند و با هم جابجا شوند، به طور همزمان با ماتریسی یکه قطریشدنی خواهندبود. فرض کنید ماتریس $U$ یک ماتریس یکه باشد که همزمان هر دوی ماتریسهای نرمال $A$ و $B$ را قطری میکند پس
$$D_1=UAU^H,\quad D_2=UBU^H$$
که $D_1$ و $D_2$ دو ماتریس قطری مربوطه هستند. آنگاه داریم؛
$$\begin{array}{l}U(A+B)U^H=UAU^H+UBU^H=D_1+D_2\\
U(AB)U^H=U(AIB)U^H=U(AU^HUB)U^H=(UAU^H)(UBU^H)=D_1D_2\end{array}$$
که به وضوح $D_1+D_2$ و $D_1D_2$ هر دو ماتریسهایی قطری هستند و $U$ هم که از پیش یک ماتریس یکه بود، در نتیجه بنا به قضیهٔ بالا ماتریسهای $A+B$ و $AB$ نرمال هستند.
