همگرایی مجموع دو سری همگرا در فضای باناخ

Question

در فضای باناخ مجموع دو سری همگرا ، همگرا می باشد.

Answer 1

در یک فضای نرمدار عمل جمع بردارها پیوسته است(چرا؟) لذا اگر $\sum_1^\infty x_n$ و $\sum_1^\infty y_n$ به ترتیب به $x $ و $y$ همگرا باشند یعنی دنباله ی مجموع های جزئی آنها $\sum_1^m x_n$ و $\sum_1^m y_n$ به $x$ و $y$ همگرا باشند آنگاه از پیوستگی عمل جمع داریم:

$$\sum_1^mx_n+\sum_1^m y_n\to x+y$$

وقتی $m\to \infty$.

یادآوری: تابع $f:X\to \mathbb R$ که $X$ فضایی متریک است در $a$ پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر دنباله $x_n$ که $x_n$ به $a$ همگراست دنباله $f(x_n)$ به $f(a)$ همگرا باشد.

Answer 2

می توانید به صورت مستقیم هم مساله را اثبات کنید. فرض کنید $\sum x_n=x$ و $\sum y_n=y$ و $\epsilon>0$ داده شده باشد. بنابر تعریف همگرایی سری ها می توان $N$ ی طبیعی یافت که برای $m\geq N$ داریم:

$$\|\sum_1^m x_n -x\| < \frac \epsilon 2\\ \|\sum_1^m y_n-y\|< \frac \epsilon 2$$

در اینصورت برای $m\geq N$ داریم:

$$\|\sum_1^m x_n+\sum_1^m y_n -(x+y)\|\leq \|\sum_1^m x_n -x\|+\|\sum_1^m y_n-y\|<\epsilon$$

یعنی $\sum x_n +\sum y_n =x+y$