برهان خلف.فرض کنید سری معکوس اعداد اول همگرا باشد.با توجه به اینکه هر دنباله همگرا کوشی نیز هست پس میتوان عدد اولی مانند $q$ چنان یافت که:
$ \sum \frac{1}{p} \prec \frac{1}{2} , (p \succeq q)$
حالا قرار دهید:
$a= \prod p , (p \prec q)$
می توان گفت برای هر عدد طبیعی $n$ ، $1+an$ شمارنده ای اول کوچکتر از $p$ ندارد زیرا در غیر اینصورت:
$if: p \prec q,p | (1+an) \Rightarrow p | (1+an-an) \Rightarrow p | 1 \bot $
بنابراین برای هر عدد طبیعی &n& عاملهای اول $1+an$ همواره از $p$ بزرگترندبنابر این:
$ \sum \frac{1}{1+an} \preceq \sum \frac{1}{p_1} + \sum \frac{1}{p_1p_1} + \sum \frac{1}{p_1p_2p_3} +... . ,(p_i \succeq q)$
$= \frac{1}{2} +( \frac{1}{2}) ^{2} + ( \frac{1}{2} )^{3} +...=1$
که با واگرایی $ \sum \frac{1}{1+an} $ در تناقض است.
(در اثبات بالا به جای $ \frac{1}{2} $ میتوان هر عدد حقیقی بین صفر و یک را بکارگرفت.)
$ \Box $
