برهان خلف.فرض کنید سری معکوس اعداد اول همگرا باشد.با توجه به اینکه هر دنباله همگرا کوشی نیز هست پس میتوان عدد اولی مانند q چنان یافت که:
\sum \frac{1}{p} \prec \frac{1}{2} , (p \succeq q)
حالا قرار دهید:
a= \prod p , (p \prec q)
می توان گفت برای هر عدد طبیعی n ، 1+an شمارنده ای اول کوچکتر از p ندارد زیرا در غیر اینصورت:
if: p \prec q,p | (1+an) \Rightarrow p | (1+an-an) \Rightarrow p | 1 \bot
بنابراین برای هر عدد طبیعی &n& عاملهای اول 1+an همواره از p بزرگترندبنابر این:
\sum \frac{1}{1+an} \preceq \sum \frac{1}{p_1} + \sum \frac{1}{p_1p_1} + \sum \frac{1}{p_1p_2p_3} +... . ,(p_i \succeq q)
= \frac{1}{2} +( \frac{1}{2}) ^{2} + ( \frac{1}{2} )^{3} +...=1
که با واگرایی \sum \frac{1}{1+an} در تناقض است.
(در اثبات بالا به جای \frac{1}{2} میتوان هر عدد حقیقی بین صفر و یک را بکارگرفت.)
\Box
