به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,326 بازدید
در دانشگاه توسط Omid1836 (13 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

اثبات قضیه هم ارزی استرلینگ در ریاضی عمومی یک مربوط به دانشگاه :

$$\ln n! \sim n \ln n - n + O(\ln n)$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط shadow_ali (283 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

تقریب استرلینگ را در ساده‌ترین حالت می‌توان به حالت زیر بیان کرد.

$$\ln (n!)=\sum_{j=1}^{n}\ln j $$ $$\sum_{j=1}^{n}\ln j \simeq \int_1^n\ln xdx=n\ln(n-n)+1$$

توجه داشته باشیم که لگاریتم $ n!$ برابر است با:

$$ \ln n!=\ln 1+\ln 2+....+\ln n$$

عبارت $ \frac{1}{2}(\ln 1+\ln n)= \frac{1}{2}\ln n $ را از لگاریتم فوق کم می‌کنیم. در این صورت به عبارت ذیل می‌رسیم.

$$\ln n!- \frac{1}{2} \ln n \simeq \int_1^nlnxdx=n\ln(n-n)+1$$

مقدار خطا در عبارت بالا را می‌توان با استفاده از فرمول اویلر-مک لورن به دست آورد:

$$\ln n!- \frac{1}{2} \ln n = \frac{1}{2}\ln 1+\ln 2+\ln 3+....+\ln (n-1)+ \frac{1}{2} \ln n=n\ln (n-n)+1+\sum_{k=2}^{m}(-1)^kBk\cdot k(k-1)\cdot( \frac{1}{n^(k-1)-1)}+ R_{m,n}$$

در رابطه فوق $ B_{k} $ نشان دهنده عدد برنولی بوده و$ R_{m,n} $ مقدار باقی مانده است. در مرحله بعد از طرفین رابطه فوق حد می‌گیریم.

$$ \lim_{x\to \infty } (\ln n!-n\ln n+n- \frac{1}{2} \ln n)=1-\sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_{k} }{k(k-1)}+ \lim_{x\to \infty } R_{m,n} $$

بنابرین مقدار باقی مانده نیز برابر با عبارت زیر خواهد بود

$$R_{m,n} = \lim_{x\to \infty }R_{m,n}+O^( \frac{1}{n^m}) $$

علامت $O$ نشان دهندهٔ مرتبهٔ جمله است که توی پرانتز است. با ترکیب کردن معادلات بالا فرمول تقریب به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\ln n!=n\ln \frac{n}{e} + \frac{1}{2} \ln n+y+\sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_{k} }{k(k-1)}+O^( \frac{1}{n^m})$$

پایه $e$ را به توان جملات فوق می‌رسانیم در این صورت عبارت زیر به دست می‌آید.

$$n!=e^y \sqrt{n}( \frac{n}{e})^e(1+o \frac{1}{n} ) $$

مقدار $ e^y$ را میتوان با میل دادن n به سمت بی نهایت به دست آورد. اندازه این مقدار به ازای $ m+1$ برابر با$ e^y= \sqrt{2 \pi } $ در این صورت فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست خواهد آمد.

$$n!= \sqrt{2 \pi n }( \frac{n}{e})^n+(1+O( \frac{1}{n}))$$
توسط shadow_ali (283 امتیاز)
ثبات انجام شده در بالا به روش کلاسیک بود. اما می‌توان با استفاده از روشی جایگزین نیز این اثبات را انجام داد. در حقیقت می‌توان با استفاده از تابع گاما نیز به دست اورد
توسط AmirHosein (18,139 امتیاز)
+2
@shadow_ali برای فرمول‌های ریاضی که در خط مجزا نمایش داده‌شوند می‌توانید در داخل محیط math از دو دلار در ابتدا و انتها به جای یک دلار استفاده کنید که دیگر نیازی به خط تیره گذاشتن و دو فاصله قرار دادن پیدا نمی‌کنید و font-ِ متن نوشتاری‌تان نیز به هم نمی‌خورد. برای تابع‌های سینوس، کسینوس و لگاریتم نپری هم می‌توانید ابتدایشان خط مورب بگذارید که ظاهر بهتری پیدا کنند برای نمونه $\ln n$ و $lnn$ را می‌توانید مقایسه کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...