تقریب استرلینگ را در سادهترین حالت میتوان به حالت زیر بیان کرد.
$$\ln (n!)=\sum_{j=1}^{n}\ln j $$
$$\sum_{j=1}^{n}\ln j \simeq \int_1^n\ln xdx=n\ln(n-n)+1$$
توجه داشته باشیم که لگاریتم $ n!$ برابر است با:
$$ \ln n!=\ln 1+\ln 2+....+\ln n$$
عبارت $ \frac{1}{2}(\ln 1+\ln n)= \frac{1}{2}\ln n $ را از لگاریتم فوق کم میکنیم. در این صورت به عبارت ذیل میرسیم.
$$\ln n!- \frac{1}{2} \ln n \simeq \int_1^nlnxdx=n\ln(n-n)+1$$
مقدار خطا در عبارت بالا را میتوان با استفاده از فرمول اویلر-مک لورن به دست آورد:
$$\ln n!- \frac{1}{2} \ln n = \frac{1}{2}\ln 1+\ln 2+\ln 3+....+\ln (n-1)+ \frac{1}{2} \ln n=n\ln (n-n)+1+\sum_{k=2}^{m}(-1)^kBk\cdot k(k-1)\cdot( \frac{1}{n^(k-1)-1)}+ R_{m,n}$$
در رابطه فوق $ B_{k} $ نشان دهنده عدد برنولی بوده و$ R_{m,n} $ مقدار باقی مانده است. در مرحله بعد از طرفین رابطه فوق حد میگیریم.
$$ \lim_{x\to \infty } (\ln n!-n\ln n+n- \frac{1}{2} \ln n)=1-\sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_{k} }{k(k-1)}+ \lim_{x\to \infty } R_{m,n} $$
بنابرین مقدار باقی مانده نیز برابر با عبارت زیر خواهد بود
$$R_{m,n} = \lim_{x\to \infty }R_{m,n}+O^( \frac{1}{n^m}) $$
علامت $O$ نشان دهندهٔ مرتبهٔ جمله است که توی پرانتز است. با ترکیب کردن معادلات بالا فرمول تقریب به صورت زیر به دست میآید:
$$\ln n!=n\ln \frac{n}{e} + \frac{1}{2} \ln n+y+\sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_{k} }{k(k-1)}+O^( \frac{1}{n^m})$$
پایه $e$ را به توان جملات فوق میرسانیم در این صورت عبارت زیر به دست میآید.
$$n!=e^y \sqrt{n}( \frac{n}{e})^e(1+o \frac{1}{n} ) $$
مقدار $ e^y$ را میتوان با میل دادن n به سمت بی نهایت به دست آورد. اندازه این مقدار به ازای $ m+1$ برابر با$ e^y= \sqrt{2 \pi } $ در این صورت فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست خواهد آمد.
$$n!= \sqrt{2 \pi n }( \frac{n}{e})^n+(1+O( \frac{1}{n}))$$
