اگر $z=x+iy$ در اینصورت از $ \overline{z}=z^2 $ داریم
$$x-iy=x^2-y^2+2xyi$$
پس باید $x=x^2-y^2$ و $2xy=-y$
اگر $y=0$ در اینصورت $x=x^2$ که با حل آن داریم $x=0,1$ پس در این حالت جواب ها به صورت $z=0, z=1$ خواهد بود.
اگر $y\neq 0$ در اینصورت از $2xy=-y$ داریم $x=-\frac 12$ و لذا از $x=x^2-y^2$ داریم $-\frac 12=\frac 14-y^2$ یعنی $y^2=\frac 34$ که از حل آن داریم $y=\pm\frac{\sqrt 3}{2}$ . پس در این حالت جواب ها به صورت $z=-\frac 12\pm i\frac{\sqrt 3}{2}$ خواهد بود.
