به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
881 بازدید
در دانشگاه توسط yosef.sobhi (321 امتیاز)

بایک مثال نشان دهید که در لم فاتو نامساوی اکید می تواند رخ دهد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,004 امتیاز)

تعریف میکنیم : $$ f_{n} (x )=\begin{cases} \frac{1}{n} & x \in [ 0,n]\\0 & O.W\end{cases} $$ دنباله ی $ \{ f_{n} \} $ به تابع صفر همگراست اما انتگرال هر $f_{n} $ برابر $ 1 $ می شود. لذا نامساوی اکید است.

(لم فاتو:$\int\liminf f_n\leq \liminf\int f_n$

و $ \liminf f_n =f$ که $ f=0 $ لذا $ \int\liminf f_n= \int0=0 $

ولی $ \int f_n = \frac{1}{n} \times n=1$ لذا $ \liminf\int f_n =\liminf 1=1 $ )

بطور مشابه میتوان قرار داد $S=[0,1] $ و تابع زیر را روی $S $ تعریف کرد. $$ f_{n} (x )=\begin{cases} n & x \in (0,\frac{1}{n} )\\0 & O.W\end{cases} $$

که این هم مثالی برای اکید بودن لم فاتو است.

مثالی دیگربرای اکید بودن لم فاتو: $$ f_{n} (x )=\begin{cases}0 & x \in [ -n,n]\\1 & O.W\end{cases} $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...