مشتق تابع نمایی طبیعی

Question

چرا مشتق تابع نمایی خود تابع رو نتیجه میدهد؟

Comments

باید بسط تابع نمایی را بنویسید. سپس با فرمول کلی مشتق دوباره به همان می رسید

Answer 1

اگر $f(x)=e^x $ باشد دراین صورت $f(x+h)=e^(x+h) $ خواهد بود. با استفاده از تعریف مشتق داریم

$ f' (x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $ داریم

$ f' (x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^(x+h)-e^x}{h} $ اگر از $e^x$ صورت کسر فاکتور بگیریم داریم

$ f' (x)= \lim_{h \rightarrow0} \frac{e^x (e^h-1)}{h} $ وچون برا ی مقدار e حد زیر را داریم

اگردو طرف به توان h برسانیم $ \
lim_{h \rightarrow 0} (1+h )^ \frac{1}{h} $=e دراین صورت $e^h$ مساوی 1+h خواهدشد اگر این مقدار را در مشتق بالا قرار دهیم$f' (x)= \lim_{h \rightarrow0} \frac{e^x (1+h-1)}{h}$ که مساوی$e^x$ خواهد شد.پایان

Comments

بسیار عالی
خیلی ممنون از زحمتتان

Answer 2

Comments

شما در این اثبات از lnx مشتق گرفته آید در حالیکه مشتق آن از مشتق تابع وارون آن یعنی همان تابع نمایی طبیعی نتیجه میشود
اینگونه نیست؟
در غیر اینصورت لطف کنید اثبات مشتق lnx را هم قرار دهید

---

مشتق تابع ln  را میتوان با استفاده از قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بدست آورد. در این زمینه میتونید مثلا به کتاب توماس فصل توابع متعالی مراجعه کنید.

Answer 3

سلام دوست عزیز.

فرمول کلی مشتق توابع نمایی بدین صورته:

Dx ( a^(u) ) = a^(u) * ln(a) * d/dx(u)1

که در اینجا، a عدد صحیح بزرگتر از 1، و u یک عبارت متغیر دار (مثلا x یا x+1 یا ...). بنابراین مشتق e^x طبق این فرمول میشه: (در فرمول بالا 1 رو در آخر خودم اضافه کردم که ظاهر فرمول در اینجا خراب نشه)

Dx ( e^(x) ) = e^(x) * ln(e) * d/dx(x) = e^x * 1 * 1 = e^x

برای اثبات این فرمول، بهتره به مراجعی مانند (فصل هفتم حسابان swokowski یا حسابان توماس و ...) مراجعه کنید. موفق باشید.

Comments

@mar1k_on1e
- برای تایپ عبارت‌های ریاضی به راهنمای تایپ ریاضی در سایت نگاه بیندازید.
https://math.irancircle.com/56/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C-%DA%A9%D9%84%DB%8C-%D8%AA%D8%A7%DB%8C%D9%BE-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C?show=56#q56
- پرسشگر فرمول کلی و غیره نخواسته‌است یا اینکه از یک فرمول دیگر که خودش اثبات نیاز دارد نتیجه بگیرد.