ثابت کنید $\sin \frac{ \pi }{m}\times \sin \frac{2\pi }{m}\times \cdots \times \sin \frac{(m-1) \pi}{m}= \frac{m}{2^{m-1}}$

Question

با استفاده از اعداد مختلط ثابت کنید که : $$\sin \frac{ \pi }{m}\times \sin \frac{2\pi }{m}\times \cdots \times \sin \frac{(m-1) \pi}{m}= \frac{m}{2^{m-1}}$$

Answer 1

$$ \begin{align} \prod_{k=1}^{m-1}\left(\frac{e^{i\pi\frac km}-e^{-i\pi\frac km}}{2i}\right) &=\frac{e^{i\pi\frac{m(m-1)}{2m}}}{2^{m-1}i^{m-1}}\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-e^{-i2\pi\frac km}\right)\\ &=\frac{e^{i\pi\frac{m-1}2}}{2^{m-1}i^{m-1}}\lim_{z\to1}\prod_{k=1}^{m-1}\left(z-e^{-i2\pi\frac km}\right)\\[3pt] &=\frac1{2^{m-1}}\lim_{z\to1}\frac{z^m-1}{z-1}\\[9pt] &=\frac{m}{2^{m-1}} \end{align} $$ توجه کنید که در مسیر حل از روابط زیر استفاده شده است :

$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ $$\lim\limits_{z\to1}z=1$$