ثابت کنید که هر عددی همانند $n$، مضربی دارد که تنها از رقم های صفر و یک تشکیل شده است

Question

یک سؤال نسبتاً ساده از اصل لانۀ کبوتری که از سایت المپدیا گرفته شده‌است.

ثابت کنید که هر عددی همانند $n$، مضربی دارد که تنها از رقم‌های صفر و یک تشکیل شده‌است.

Answer 1

می‌دانیم هر عدد مانند $k$ در تقسیم بر $n$ تنها می‌تواند باقیمانده‌های ۰ و ۱ و ۲ و ... و $n-1$ را بدهد. پس اگر ما $n+1$ عدد داشته باشیم تفاضل دو تا از آنها بر $n$ بخشپذیر است (ضریبی از آن است). حال آن اعداد را ۱ و ۱۱ و ۱۱۱ و ... در نظر می‌گیریم، در نتیجه تفاضل دو تا از آنها بر $n$ بخشپذیر است و تنها ارقام ۰ و ۱ دارد.

Comments

پاسختون خوب بود، ولی میتونستید یکم بهتر توضیح بدید. به هر حال ممنون که جواب دادین.

---

راه حل خوبی ارائه شد و عددی که از تفاضل بدست می آید دارای یکان صفر می باشه، سوالم اینه که با یکان غیر صفر وجود داره؟(آیا برای هر n با یکان غیر صفر، مضربی از آن وجود داره که همه ارقامش صفر یا یک باشند و یکانش غیر صفر باشه)

---

خیر برای عدد 5 وجود ندارد و تمام مضارب آن تنها یکان 5 یا 0 دارند .

---

برای 5 واضح است که وچود داره مانند 15 یا 105 یا 115 و... مضرب 5 می باشند همه ارقامش 0 یا 1 می باشه و یکانش هم غیر صفر است