اعداد 6 رقمی با ارقام 3 و 5 و 7

Question

چند عدد 6 رقمی با ارقام 3 و 5 و 7 می توان نوشت به طوری که هر کدام از این ارقام حداقل یک بار ظاهر شود؟

Comments

آیا این جواب صحیح هست؟ (استفاده از متمم) کل اعداد منهای (اعداد بدون ۳ + اعداد بدون ۵+ اعداد بدون۷) $3^{6}-3*{2^{6}}$

---

سلام ، خیر ، باید از اصل شمول و عدم شمول استفاده کرد ، تو جواب شما مثلا اگه یه عدد فقط 7 داشته باشه 2 بار حساب میشه ، یک بار تو قسمت اعداد بدون 3 و یک بار قسمت اعداد بدون 5 ، باید همین راه حل رو با اصل شمول و عدم شمول ترکیبی کنید که میشه همین جوابتون منهای 3

Answer 1

اول یک بار اعداد $1,2,3$ را در شش مکان جای داده که تعداد حالات برابر $\binom{6}{3} =20$ می‌شود. بنابراین تعداد کل حالتها برابر است با$$ \binom{6}{3} \times 3^3=540$$

$------------------------$

راه دقیقتر، سوال را به سه قسمت تبدیل میکنیم وبا استفاده از جایگشت با تکرار داریم: $$ \frac{6!}{3! \times 2!} \times 6 + \frac{6!}{4!} \times 3 + \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} =540$$

Comments

سلام

دوست عزیز این پاسخت اشتباست چون اگکه تو مرحله اول جای سه دو 2 رو مثلا عوض کنیم اونوقت این حالت در نظر گرفته نشده

---

پاسخ نخست آقای @Under_sky قشنگ است. شما به هر یک از این سه عدد دقیقا یک جا می‌دهید پس تا اینجا مطمئن هستید که هر یک دست‌کم یک بار استفاده شده‌است. چون صفر هم در بین عددها نبوده نیاز به کاستن چیزی ندارید. سپس شش منهای سه یعنی سه جایگاه باقیماندهٔ خالی را به دلخواه پر می‌کنید. اما باید تکرارها را مراقب بود. مثلا یک بار به ۱ و ۲ و ۳ ، جایگاه‌های یک و دو و سه را به ترتیب می‌دهید و سه جایگاه دیگر را ۱ بگذاریم پس یک بار اینجا شمرده شد. اکنون ۱ و ۲ و ۳ ، جایگاه‌های چهار و دو و سه را به ترتیب بگیرند و سه جایگاه دیگر را ۱ بگذاریم. پس عدد پیشین دوباره شمرده شد!

---

من امروز این سوال رو دیدم. اون راه حل متمم که گفتید کل حالت ها منهای حالت هایی که ۳ نباشه + حالت هایی که ۵ نباشه +حالت هایی که ۷ نباشه درسته اما ادامه داره. حالتی که ۳ نباشه رقم ۵۵۵۵۵۵ رو داره و حالتی که ۷ نباشه هم رقم ۵۵۵۵۵۵ رو داره .یعنی ۳ حالت ۷۷۷۷۷۷  و ۵۵۵۵۵۵ و ۳۳۳۳۳۳  دوبار از کل حالت ها کم شدن. پس کافیه مجموع رو بعلاوه ۳ کنید یعنی ۵۳۷+۳=۵۴۰.