به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
40 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط man258

ثابت کنید عدد اویلر عددی بین 2 و 3 است یکجا نوشته بود که برنولی با استفاده از قضیه دو جمله ای این رو اثبات کرده ولی من این اثبات رو نتونستم پیدا کنم

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

البته این سوال بستگی به این دارد که تعریف شما از $e$ چه باشد. در ادامه ما فرض می کنیم شما می دانید که دنباله $u_n=(1+\frac 1n)^n$ همگرا به $e$ است. با به کاربردن قضیه دوجمله ای داریم:

$$(1+\frac 1n)^n= \binom{n}{0}(1)^n(\frac 1n)^0+ \binom{n}{1}(1)^{n-1}(\frac 1n)^1+ \binom{n}{2}(1)^{n-2}(\frac 1n)^2+\cdots +\binom{n}{n}(1)^0(\frac 1n)^n\\ =1+\frac n1\frac 1n+\frac{n(n-1)}{2!}(\frac 1n)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac 1{n^3}+\cdots \frac{n(n-1)\cdots 2\times 1}{n!}\frac 1{n^n} $$

با تقسیم صورت های جملات بالا بر توانهای $n$ که در مخرج هستند داریم:

$$u_n=1+1+\frac 1{2!}(1-\frac 1n)+\frac 1{3!}(1-\frac 1n)(1-\frac 2n)+\cdots +\frac 1{n!}(1--\frac 1n)(1-\frac 2n)\cdots (1-\frac{n-1}{n})$$

اینکه $2<e$ از تساوی فوق واضح است. توجه کنید که برای هر $p=1,2,\cdots ,n$ داریم $(1-\frac pn)< 1$. و $2^{p-1}\leq p!$ در نتیجه $\frac 1{p!}\leq \frac 1{2^{p-1}}$. پس با استفاده از عبارت بالا که برای $u_n$ پیدا کردیم داریم:

$$u_n< 1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots +\frac 1{2^{n-1}}<1+1+\sum_1^\infty \frac 1{2^k}=1+1+1=3$$

این پاسخ از کتاب اصول آنالیز حقیقی بارتل گرفته شده است.

دارای دیدگاه قبل توسط man258
خیلی ممنون از پاسختون
لطفا فصلی از آنالیز حقیقی بارتل که این مطلب رو ازش برداشتید رو ذکر کنید
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر تعریف شما از $e$ به صورت $e=\sum_0^\infty \frac 1{n!}$ باشد در اینصورت با توجه به نابرابری $\frac 1{p!}\leq \frac 1{2^{p-1}}$ برای $p=1,2,\cdots n$ داریم: $$e=\sum_0^\infty \frac 1{n!}\leq 1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots=3$$

همچنین توجه کنید اثبات اینکه $2< e$ از تعریف بالا واضح است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...