به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
156 بازدید
در دانشگاه توسط AMN0000 (9 امتیاز)

دقیقاً چه‌طوری باید ثابت کرد که عدد اویلر از سی یازدهم کم‌تره؟ سعی کردم با استفاده از مساحت زیر منحنی تابع یک‌ایکسُم برم ولی طولانی و عجیب و کمی شهودی شد. کسی راه‌حل بهتری سراغ داره؟ سپاس.

توسط shadow_ali (283 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@AMN0000 ببین یه کار دیگه میتونی انجام بدی. اونم اینه که به صورت فاکتوریل بنویسی تا یه جایی به این صورت که $1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+\cdots$ هر چی میره کوچیک تر میشه دیگه. بیا چند جمله اولشو جمع کن  $1+1+1/2+1/6+1/24+1/120=2.7...$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (18,139 امتیاز)

با متنی که در پرسش‌تان نوشتید مشخص نیست که از ایدهٔ درستی که در زیر اشاره می‌کنم استفاده می‌خواهید بکنید یا در حال انجام محاسبهٔ اشتباهی هستید. محاسبهٔ اشتباه به این معنا که عدد $e$ را می‌خواهید با انتگرال $\frac{1}{x}$ بدست آورید و سپس ثابت کنید که این انتگرال از $\frac{30}{11}$ کوچکتر است. چرا این محاسبه اشتباه است؟ چون $e$ به شکل انتگرال $\frac{1}{x}$ با کران‌های صحیح یا کسری نوشته نمی‌شود! بلکه $\ln(a-b)$ها را به این شکل می‌توانید بنویسید (توجه کنید که $\ln(x)$ تمام اعداد حقیقی مثبت پس در نتیجه $e$ را می‌پوشاند ولی ادعا این است که نه با مثلا کران‌های صفر یا یک تا فلان عدد صحیح یا گویا!).

و اما ایدهٔ درست. توجه کنید که $\int_1^e\frac{1}{x}dx=\ln(e)-\ln(1)=1-0=1$ و تابع $\int_1^x\frac{1}{x}dt$ که همان تابع $\ln(x)$ است، تابعی افزایشیِ اکید است. پس به جای اینکه بگوئیم $e$ حاصل این انتگرال برای مقدار خاصی از $x$ است (که بدست آوردن خود این $x$ نیاز به محاسبه دارد) از این استفاده می‌کنیم که اگر عددی را به جای $x$ گذاشتیم و حاصل این انتگرال بزرگتر از ۱ شد، یعنی خود این عدد از $e$ بزرگتر بوده‌است. پس حکم شما که $e< \frac{30}{11}$ بود اکنون هم‌ارز با این است که ثابت کنیم که $\int_1^{\frac{30}{11}}\frac{1}{x}dx>1$.

ساده‌ترین راه این است که با یک جمع ریمان ساده کران بالا و پائين برای این انتگرال بیابیم. اگر کران بالا از ۱ کمتر باشد که یعنی این انتگرال نمی‌تواند از ۱ بزرگتر باشد، اگر کران پائین از ۱ بزرگتر باشد یعنی این انتگرال مطمئنا بزرگتر از ۱ است ولی اگر هیچ یک از این دو روی ندهد یعنی احتمال ۱ بودن این انتگرال با محسابه‌مان رد نمی‌شود و هنوز امکان دارد که $\frac{30}{11}$ خود $e$ باشد. در این حالت تعداد بخش‌بندی‌های بازهٔ $[1,\frac{30}{11}]$ را افزایش می‌دهیم به امید آنکه کران‌ها به مقدار واقعی انتگرال نزدیک‌تر شوند و یکی از دو حالت که اگر پرسش درست باشد باید حالت دوم رخ دهد، روی بدهد.

عدد $n$ را یک عدد طبیعی بردارید. تعریف کنید $h=\frac{\frac{30}{11}-1}{n}$، در این صورت چون $\frac{1}{x}$ تابعی کاهشی اکید است، کران پائین برای این انتگرال برابر با $\sum_{i=1}^nh\frac{1}{1+ih}$ و کران بالا برای این انتگرال برابر با $\sum_{i=1}^nh\frac{1}{1+(i-1)h}$ می‌شود. در زیر یک برنامه با نرم‌افزار Maple نوشته‌ایم که از کاربر عدد طبیعی $n$ را دریافت و سپس به شکل یک پیام بازه‌ای که بوسیلهٔ این دو کران ایجاد می‌شود را چاپ می‌کند.

bounding:=proc(n::posint)
description "Finding an interval that bounds the result of int(1/x,x=1..30/11) using simple Riemannian sum idea.";
local h,lowerBound,upperBound,i::posint;
h:=(30/11-1)/n;
lowerBound:=h*add(1/(1+i*h),i=1..n);
upperBound:=h*add(1/(1+(i-1)*h),i=1..n);
printf("For n=%d, the bounding interval is [%a,%a].\n",n,evalf(lowerBound),evalf(upperBound));
end proc;

جدول زیر این بازه را برای چند مقدار $n$ نمایش می‌دهد. توجه کنید که $n$ را چند بار افزایش دادیم تا سرانجام به نتیجه‌گیری دوم یعنی درستیِ حکمِ آمده در پرسش رسیده‌ایم.

$$\begin{array}{c|c} n & \text{بازه}\\\hline 10 & [0.9507499243,1.060143864] \\\hline 20 & [0.9764911621,1.031188132] \\\hline 100 & [0.9978539308,1.008793325] \\\hline 200 & [1.000572640,1.006042337] \end{array}$$

توجه کنید که کران‌های بالا و پائینی که ما به کار بردیم هر دو با افزایش $n$ به مقدار واقعی انتگرال همگرا می‌شوند، در غیر اینصورت ضمانتی بر اینکه با افزایش $n$ حتما باید به نتیجه‌گیری درستی برسیم وجود ندارد. نکتهٔ دیگر این است که ممکن است کران بالا و پائین همگرای دیگری بردارید که با $n$ کوچکتر تکلیف را مشخص کند و یا بدشانس باشید و $n$ مورد نیاز به شدت بزرگ باشد که پس از ساعت‌ها هم هنوز به نتیجه نرسید (اینکه یک روش حتما به پاسخ برسد دلیل بر این نمی‌شود که در زمان محدود مشخصی هم پاسخ را بتوانید با آن بیابید).


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...