البته این سوال بستگی به این دارد که تعریف شما از $e$ چه باشد. در ادامه ما فرض می کنیم شما می دانید که دنباله $u_n=(1+\frac 1n)^n$ همگرا به $e$ است. با به کاربردن قضیه دوجمله ای داریم:
$$(1+\frac 1n)^n= \binom{n}{0}(1)^n(\frac 1n)^0+ \binom{n}{1}(1)^{n-1}(\frac 1n)^1+ \binom{n}{2}(1)^{n-2}(\frac 1n)^2+\cdots +\binom{n}{n}(1)^0(\frac 1n)^n\\
=1+\frac n1\frac 1n+\frac{n(n-1)}{2!}(\frac 1n)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac 1{n^3}+\cdots \frac{n(n-1)\cdots 2\times 1}{n!}\frac 1{n^n} $$
با تقسیم صورت های جملات بالا بر توانهای $n$ که در مخرج هستند داریم:
$$u_n=1+1+\frac 1{2!}(1-\frac 1n)+\frac 1{3!}(1-\frac 1n)(1-\frac 2n)+\cdots +\frac 1{n!}(1--\frac 1n)(1-\frac 2n)\cdots (1-\frac{n-1}{n})$$
اینکه $2<e$ از تساوی فوق واضح است. توجه کنید که برای هر $p=1,2,\cdots ,n$ داریم $(1-\frac pn)< 1$. و $2^{p-1}\leq p!$ در نتیجه $\frac 1{p!}\leq \frac 1{2^{p-1}}$. پس با استفاده از عبارت بالا که برای $u_n$ پیدا کردیم داریم:
$$u_n< 1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots +\frac 1{2^{n-1}}<1+1+\sum_1^\infty \frac 1{2^k}=1+1+1=3$$
این پاسخ از کتاب اصول آنالیز حقیقی بارتل گرفته شده است.
