همگرایی یا واگرایی انتگرال $\int_0^1\frac{e^{x^2}}{\sqrt[3]x-\tan x}dx$

Question

در مورد همگرایی یا واگرایی انتگرال زیر بحث کنید:

$$\int_0^1\frac{e^{x^2}}{\sqrt[3]x-\tan x}dx$$

ویرایش ادمین: متاسفانه اطلاعات بیشتری از طرف کاربر وارد نشده است.

Comments

"اگه واضح نیست بگم که ای به قوه ایکس دو تو صورت هست و مخرج هم تو صورت ای بقوه ایکس دو هست و تو مخرج رادیکال ایکس بفرجه ۳"
سلام به محفل ریاضی خوش آمدید.
ما اینجا امکانی فراهم کردیم که بتوانید ریاضی تایپ کنید تا همه چی واضح باشد. بجای آپلود عکس بی کیفیت میتوانستید آن را تایپ کنید. من این بار برای تان ویرایش کردم. همینطور باید تلاش خودتان را برای حل سوال می نوشتید.

---

سلام استاد. باعرض شرمندگی. صورت سوال ایشون یا من نمیتونم بخونم.درستش رو. یا سوال مشکل داره. میشه از دوست عزیز خواهش کنید که صورت سوال رو مجدد بفرستند؟

---

@*༆༤༼༡།༏.ཧ།༨༽༤༆*
کاش نام کاربری مفهوم انتخاب می کردید.
منظورتان از "نمیتونم بخونم درستش رو" چه هست؟
صورت سوال یک انتگرال هست که فکر کنم دقیق مشخص هست چه نوشته شده است. دقیقا کجا را نمی توانید بخوانید؟
اگر انتگرال طوری است که نمی توان حل کرد مساله ی دیگری است. می توانید آن را به عنوان نامناسب نشانه گذاری کنید تا مدیران به آن رسیدگی کنند.

---

شرمنده بابت انتخاب اسم.
اگر صورت سوال همینطور که نوشته شده باشد. به نظر بنده مشکل دار است. پس با احترام به عنوان نامناسب نشانه گذاری میکنم

---

این یک انتگرال معین است (به همراه تابعی تقریبا همه‌جا پیوسته -دقیق‌تر، با تعداد حداکثر متناهی نقطهٔ ناپیوسته- در زیر انتگرال) که می‌توان همگرایی-واگرایی آن را بحث کرد، از این جهت مشکلی ندارد.

Answer 1

اول یک قضیه درباره انتگرال های ناسره رو یادآوری میکنم.

فرض کنیم $f:(a,b] \rightarrow [0,\infty)$ کراندار و روی $[x,b]$ برای هر $x\in(a,b)$ انتگرال پذیر ریمان باشد و علاوه براین فرض کنیم $ \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty $ و یا $ \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty $.

ا- اگر $\alpha \in(0,1)$ موجود باشد به طوری که $ \lim_{x\to a^+}f(x)(x-a)^\alpha=0 $ آن گاه انتگرال ناسره روی $[a,b]$ همگراست.

2- اگر $\beta\ge1$ موجود باشد به طوری که $ \lim_{x\to a^+}f(x)(x-a)^\beta $ موجود (متناهی یا نامتناهی) و مخالف صفر باشد آن گاه انتگرال ناسره روی $[a,b]$ واگراست.

نکته: اگر انتگرال ناسره $|f|$ همگرا باشد آن گاه انتگرال ناسره $f$ همگراست.

دقت کنید چون انتگرالده سوال در بازه مورد نظر مثبت نیست پس قضیه رو نمیشه روش اعمال کرد. پس قضیه رو روی $|f|$ اعمال می کنیم. توجه کنید که (به عنوان تمرین حد رو خودتون محاسبه کنید) $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x}e^{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}-\tan(x)}=\lim_{x\to 0} \bigg|\frac{\sqrt{x}e^{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}-\tan(x)}\bigg|=0 $$ پس حالت 1 قضیه برای $\alpha=\frac{1}{2}$ اتفاق افتاده پس انتگرال ناسره برای $|f|$ همگرا و در نتیجه انتگرال خواسته شده همگراست.