محاسبه برد تابع $x \sqrt{x} \sqrt{1- x^{2} } $ بدون استفاده از مشتق

Question

مطلوب است محاسبه برد تابع $x \sqrt{x} \sqrt{1- x^{2} } $ بدون استفاده از مشتق.

---

تلاش خودم: $x \sqrt{x} \sqrt{1- x^{2} }=\sqrt{ (x^{2})^{ \frac{3}{2} } (1- x^{2})} $

بر اساس قضیه ماکزیمم مطلقُ چون جمع دو عامل $ (1- x^{2}) $ و $ x^{2} $ مقدار ثابت ۱ است لذا ضرب آنها زمانی بیشترین مقدار است که داشته باشیم:

$ \frac{x^{2}}{ \frac{3}{2} } = \frac{1- x^{2}}{1} $

با حل معادله فوق، ماکزیمم تابع چنین خواهد بود:

$ \sqrt{( \frac{3}{5} )^{ \frac{3}{2} }( \frac{2}{5} )} $

با توجه به دامنه تابع، بدیهی است که کمترین مقدار تابع نیز صفر است.

سوالم اینه که در قضیه ماکزیمم مطلق، توان ها می تونن شامل کل اعداد حقیقی بشن یا خیر؟

Answer 1

من دسترسی به منبع شما ندارم چون ایران نیستم ولی مطلبی که استفاده کردید واقعا به «قضیهٔ بیشینهٔ اکید» (ماکسیمم مطلق) شهرت و رواج‌یافته نیست بلکه تنها یک نکته یا لم ساده است. برای اینکه ببینید آیا توان‌ها به اعداد طبیعی یا صحیح محدود هستند یا حقیقی هم می‌توانند باشند، بهتر است که یک بار خودمان به سراغ اثباتش برویم تا ببینیم در طول اثبات این نکته آیا به محدودیتی، شرطی، چیزی برخورد می‌کنیم یا خیر. تابع $f(x)$ را یک تابع مشتق‌پذیر (در نتیجه پیوسته) در نظر بگیرید و برای دو پارامتر $u$ و $v$ حقیقی دلخواه تعریف کنید: $$g(x)=\sqrt{f(x)^u\big(1-f(x)\big)^v}$$ از $g(x)$ مشتق بگیرید؛ $$\begin{array}{ll} g'(x) & = \frac{\Big(f^u(x)\big(1-f(x)\big)^v\Big)'_x}{2\sqrt{f(x)^u\big(1-f(x)\big)^v}}\\ & = \frac{uf^{u-1}(x)f'(x)\big(1-f(x)\big)^v+vf^u(x)\big(1-f(x)\big)^{v-1}\big(1-f'(x)\big)}{2\sqrt{f(x)^u\big(1-f(x)\big)^v}} \end{array}$$ اکسترمم‌های تابع $g$ در مقادیری از $x$ اتخاذ می‌شوند که صورت را صفر کنند ولی مخرج را خیر. و اکسترمم مطلق زمانی اتخاذ می‌تواند شود که در هیچ نقطه‌ای مخرج صفر نشود یا اینکه در هیچ نقطه‌ای که مخرج صفر می‌شود، حد تابع به سمت بینهایت مرتبط نرود (مثلا اگر به مثبت بینهایت برود دیگر بیشینه -ماکسیمم- نخواهیم داشت).

ساده‌شدهٔ صورت کسر برابر است با؛ $$f^{u-1}(x)\big(1-f(x)\big)^{v-1}f'(x)\Big(u\big(1-f(x)-vf(x)\Big)$$ این عبارت در چهار حالت می‌تواند صفر شود؛ $$\begin{array}{lll}f(x)=0 & \text{if} & u-1>0\\ f(x)=1 & \text{if} & v-1>0\\ f'(x)=0\\ f(x)=\frac{u+v}{u}\end{array}$$ (حواستان به صفر نشدن مخرج نیز باشد).

اکنون اگر قرار دهید $f(x)=x^2$ و $u=\frac{3}{2}$ و $v=1$ دارید $\frac{u+v}{u}=\frac{5}{3}$. که شما نیز از $x^2=\frac{5}{3}$ استفاده کرده‌اید. تا اینجا محدودیتی یا فرضی بر طبیعی یا صحیح بودن پارامترها نداشتیم پس نباید مشکلی باشد. اما اینکه بیشینه یا کمینه، نسبی یا اکید (مطلق) خواهد بود باید بیشتر بحث را ادامه دهید.