به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
124 بازدید
در دبیرستان توسط mahdiDD

ثابت کنید در هر مثلث، هر میانه از مجموع دو میانه دیگر کوچکتر است. در ادامه ثابت کنید مساحت مثلث تشکیل شده توسط این میانه ها برابر سه چهارم مساحت مثلث اولیه است.

مرجع: مطرح شده توسط معلم در کلاس درس
توسط arashari44
+1
میانه های یک مثلث همرس هستند منظورتون از مثلث تشکیل شده توسط میانه ها چیست؟
توسط mahdiDD
+2
اگر ثابت شود که در هر مثلث، هر میانه از مجموع دو میانه دیگر کوچکتر است پس میتوانیم مثلثی بسازیم که اضلاعش میانه های مثلث اولیه هستند.
توسط امیررضا صفوی نژاد
ممکن هست یک شکل پیشنهاد بدید ؟ و توضیح بدید در صورت تشکیل مثلث توسط میانه ها , اونوقت تکلیف نقطه ی گرانیگاه مثلث چی میشه ؟
توسط arashari44
منظورشون این هست که حالت نامساوی مثلثی برای میانه های یک مثلث وجود دارد
توسط mahdiDD
بله درسته.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط Mahdimoro
انتخاب شده توسط mahdiDD
 
بهترین پاسخ

enter image description here

در مثلث ABC وسط اضلاع AB , BC , CA را به ترتیب P , M , N بنامید. از M خطی به موازات CP رسم میکنیم تا امتداد NP را در T قطع کند. چون PT موازی MC است و PC نیز موازی MT است پس چهارضلعی PCMT متوازی الاضلاع است و بنابراین (1) PC=MT.

از طرفی چون PCMT متوازی الاضلاع است پس PT=MC=BC/2=NP و همچنین AP=BP و در نتیجه به دلیل اینکه در چهارضلعی ANBT قطر ها همدیگر را نصف میکنند پس این چهارضلعی متوازی الاضلاع است و در نتیجه (2) AT=NB.

ار (1) و (2) به این نتیجه میرسیم که اضلاع مثلث AMT برابر با میانه های مثلث است و بنابراین با میانه ها توانستیم مثلث بسازیم. حکم اول ثابت شد.

حال میدانیم PT=MC=MB و PT موازی MB است. بنابراین مساحت مثلث TPD برابر با مساحت مثلث DMB است و یعنی جمع مساحت مثلث های TPD و ADM برابر جمع مساحت مثلث های ADM و DMB است که همان مساحت مثلث ABM است که نصف مساحت کل است. پس تا کنون داریم: $$ S_{TPD} + S_{ADM} = S_{ABM} $$ حال توجه کنید به دلیل اینکه چهارضلعی ANBT متوازی الاضلاع است، مساحت مثلث های APT و PNB با هم برابر است. یعنی در کل: $$ S_{ATM} = S_{APT} + S_{ADM} + S_{TDP} = S_{PNB} + S_{ABM} = \frac{1}{4}S_{ABC} + \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC} $$

پس حکم دوم هم ثابت شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...