Question

اضلاع a,b,c مثلث ABC تشکیل تصاعد حسابی می‌دهند و اضلاع مثلث $$A_1B_1C_1$$ تشکیل تصاعد حسابی می‌دهند و $$A=A_1$$ ثابت کنید دو مثلث متشابه اند.

Comments

مثلث  ABC  اضلاع  a, b, c  دارد که این سه عدد تشکیل تصاعد حسابی می‌دهند.

مثلث
 $A_1B_1C_1 $
 اضلاع
 $a_1, b_1, c_1 $
دارد که آن‌ها هم تشکیل تصاعد حسابی می‌دهند.

همچنین داده شده$  A = A_1 $، یعنی زاویه  A  در مثلث اول با زاویه $ A_1 $ در مثلث دوم برابر است.

می‌خواهیم ثابت کنیم دو مثلث متشابه‌اند.

---

۲. شرط تصاعد حسابی برای اضلاع

برای مثلث  ABC :
اگر a, b, c  تصاعد حسابی باشند، آنگاه:

$2b = a + c$

و  a, b, c  اضلاع مثلث‌اند، پس مثلاً  a  روبروی  A  و  b  روبروی  B  و  c  روبروی  C .

---

برای مثلث
$  A_1B_1C_1 $:
اگر
$a_1, b_1, c_1 $
 تصاعد حسابی باشند، آنگاه:

$2 b_1 = a_1 + c_1$

و  
$a_1  $روبروی  A_1  و
$  b_1 $ روبروی$  B_1 $ و
$c_1$روبروی
$  C_1 .

---

۳. استفاده از قانون کسینوس برای  A  و $ A_1 $

در مثلث  ABC :

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.$

در مثلث
$  A_1B_1C_1 $:

$\cos A_1 = \frac{b_1^2 + c_1^2 - a_1^2}{2 b_1 c_1}.$

چون
  A = A_1
، داریم:

$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b_1^2 + c_1^2 - a_1^2}{2 b_1 c_1}. \quad (1)$

---

۴. جایگذاری شرط تصاعد حسابی

برای  $ABC :$  a + c = 2b .

برای
$  A_1B_1C_1$
 :  $a_1 + c_1 = 2 b_1 $.

---

حال  
$b^2 + c^2 - a^2 $
را ساده کنیم:

از  $a = 2b - c$  استفاده کنیم:

$b^2 + c^2 - (2b - c)^2$
= $b^2 + c^2 - [4b^2 - 4bc + c^2]$

=$ b^2 + c^2 - 4b^2 + 4bc - c^2$

=$ -3b^2 + 4bc$.

پس:

$b^2 + c^2 - a^2 = 4bc - 3b^2$.

---

به طور مشابه برای مثلث دوم:

$b_1^2 + c_1^2 - a_1^2 = 4 b_1 c_1 - 3 b_1^2$.

---

۵. قرار دادن در رابطه (۱)

$\frac{4bc - 3b^2}{2bc} = \frac{4 b_1 c_1 - 3 b_1^2}{2 b_1 c_1}$.

ساده‌سازی: هر دو طرف تساوی را به صورت زیر بنویسیم:

$\frac{4bc - 3b^2}{2bc} = 2 - \frac{3b}{2c}$.

در واقع بهتر است مستقیماً ساده کنیم:

$\frac{4bc - 3b^2}{2bc} = \frac{4 b_1 c_1 - 3 b_1^2}{2 b_1 c_1}$.

هر دو طرف را ساده می‌کنیم:

$2 - \frac{3b}{2c} = 2 - \frac{3 b_1}{2 c_1}.$

(من اینجا دقت کنم:  
$\frac{4bc - 3b^2}{2bc} = \frac{4bc}{2bc} - \frac{3b^2}{2bc} = 2 - \frac{3b}{2c} .$)

پس:

$2 - \frac{3b}{2c} = 2 - \frac{3 b_1}{2 c_1}$

$\Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{b_1}{c_1}$.

---

۶. استفاده از  $a + c = 2b $

از  
$a + c = 2b$
 داریم  
$\frac{a}{c} + 1 = 2 \frac{b}{c}$ .

فرض کردیم
$  \frac{b}{c} = \frac{b_1}{c_1} = k  $(مثلاً).

پس:

$\frac{a}{c} = 2k - 1$.

و برای مثلث دوم:

$\frac{a_1}{c_1} = 2k - 1$.

---

۷. نسبت‌های اضلاع

در مثلث  ABC :

$a : b : c = (2k - 1) : k : 1.$

در مثلث
$ A_1B_1C_1$ :

$a_1 : b_1 : c_1 = (2k - 1) : k : 1.$

یعنی نسبت اضلاع متناظر در دو مثلث یکسان است.

---

۸. نتیجه

دو مثلث که نسبت اضلاعشان یکسان باشد، متشابه‌اند.
و در اینجا$  A = A_1 $ خود به خود نتیجه تشابه است (در واقع از تساوی$  A = A_1 $ و یکسان بودن  
$\frac{b}{c} $
 و  
$\frac{a}{c}$
 در دو مثلث، قانون کسینوس برای  B  و  C  هم نسبت‌های یکسان می‌دهد).

---

پاسخ نهایی:

$\boxed{\text{متشابه اند}}$

دو مثلث  ABC  و
 $ A_1B_1C_1 $
 به دلیل یکسانی نسبت اضلاع متناظر، متشابه هستند.

Answer 1

در دو مثلث $ABC$ و $A_1B_1C_1$ فرض کنید:

$ \angle A= \angle A_1, \angle C \leq \angle B \leq \angle A,\angle C_1 \leq \angle B_1 \leq \angle A_1$

بنابه فرض اعداد حقیقی و مثبت $d$ و $d_1$ موجودند که اضلاع به صورت زیر می باشتد:

$c \leq c+d(=b) \leq c+2b(=a),c_1 \leq c_1+d_1(=b_1) \leq c_2+2d_1(=a_1)$

حالا قضیۀ کسینوسها را بکار ببرید:

$ \Rightarrow CosA= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(c+d)^2+c^2-(c+2d)^2}{2c(c+d)} = \frac{2c^2+2cd+d^2-c^2-4cd-4d^2}{2c(c+d)}= \frac{c^2-2cd+d^2-4d^2}{2c(c+d)} $

$= \frac{(c-d)^2-(2d)^2}{2c(c+d)} = \frac{(c-d-2d)(c-d+2d)}{2c(c+d)} = \frac{(c-3d)(c+d)}{2c(c+d)} = \frac{c-3d}{2c} = \frac{1}{2} - \frac{3d}{2c} $

حالا اگر این استدلال را برای مثلث دیگر تکرار کنیم داریم:

$ \angle A= \angle A_1 \Rightarrow CosA=CosA_1 \Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{3d}{2c}=\frac{1}{2} - \frac{3d_1}{2c_1} \Rightarrow \frac{3d}{2c}=\frac{3d_1}{2c_1} \Rightarrow \frac{d}{c}=\frac{d_1}{c_1} $

$\Rightarrow \frac{c}{c_1} = \frac{d}{d_1} $

از طرفی دیگر:

$ \frac{b}{b_1} = \frac{c+d}{c_1+d_1}= \frac{ \frac{c_1d}{d_1} +d}{ c_1+d_1} = \frac{c_1d+dd_1}{d_1(c_1+d_1)} = \frac{d(c_1+d_1)}{d_1(c_1+d_1)} = \frac{d}{d_1} = \frac{c}{c_1} $

و این استدلالی کافیست برای نشان دادن اینکه دو مثلث بنابه تساوی یک زاویه و تناسب اضلاع آن زاویه متشابهند.

$ \Box $