در دو مثلث $ABC$ و $A_1B_1C_1$ فرض کنید:
$ \angle A= \angle A_1, \angle C \leq \angle B \leq \angle A,\angle C_1 \leq \angle B_1 \leq \angle A_1$
بنابه فرض اعداد حقیقی و مثبت $d$ و $d_1$ موجودند که اضلاع به صورت زیر می باشتد:
$c \leq c+d(=b) \leq c+2b(=a),c_1 \leq c_1+d_1(=b_1) \leq c_2+2d_1(=a_1)$
حالا قضیۀ کسینوسها را بکار ببرید:
$ \Rightarrow CosA= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(c+d)^2+c^2-(c+2d)^2}{2c(c+d)} = \frac{2c^2+2cd+d^2-c^2-4cd-4d^2}{2c(c+d)}= \frac{c^2-2cd+d^2-4d^2}{2c(c+d)} $
$= \frac{(c-d)^2-(2d)^2}{2c(c+d)} = \frac{(c-d-2d)(c-d+2d)}{2c(c+d)} = \frac{(c-3d)(c+d)}{2c(c+d)} = \frac{c-3d}{2c} = \frac{1}{2} - \frac{3d}{2c} $
حالا اگر این استدلال را برای مثلث دیگر تکرار کنیم داریم:
$ \angle A= \angle A_1 \Rightarrow CosA=CosA_1 \Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{3d}{2c}=\frac{1}{2} - \frac{3d_1}{2c_1} \Rightarrow \frac{3d}{2c}=\frac{3d_1}{2c_1} \Rightarrow \frac{d}{c}=\frac{d_1}{c_1} $
$\Rightarrow \frac{c}{c_1} = \frac{d}{d_1} $
از طرفی دیگر:
$ \frac{b}{b_1} = \frac{c+d}{c_1+d_1}= \frac{ \frac{c_1d}{d_1} +d}{ c_1+d_1} = \frac{c_1d+dd_1}{d_1(c_1+d_1)} = \frac{d(c_1+d_1)}{d_1(c_1+d_1)} = \frac{d}{d_1} = \frac{c}{c_1} $
و این استدلالی کافیست برای نشان دادن اینکه دو مثلث بنابه تساوی یک زاویه و تناسب اضلاع آن زاویه متشابهند.
$ \Box $
