به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
81 بازدید
در دبیرستان توسط امیررضا صفوی نژاد
نمایش از نو توسط امیررضا صفوی نژاد

در مثلث متساوی الاضلاع ABC , نقطه ی D را بر روی AC به دلخواه انتخاب میکنیم و آن رابه B وصل می کنیم . قاعده ی BC را از طرف C امتداد میدهیم و D را در نقطه ی E به آن وصل میکنیم به طوری که DB = DE . اثبات کنید CE = AD .

مرجع: جزوه ی تکمیلی هندسه-سایت ریاضی سرا-فصل اول-مساله ی ۳۱

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط good4us
انتخاب شده توسط امیررضا صفوی نژاد
 
بهترین پاسخ

ابتدا $DF$را به موازات $AB$رسم می کنیم مثلث $CDF$متساوی الاضلاع است و مثلث های $BDF$و$CDE$همنهشتند پس $BF=CE$وچون $AC=BC $ و $FC=DC$ پس $BF=AD$ به این ترتیب $AD=CE$

enter image description here

+1 امتیاز
توسط Mahdimoro

enter image description here

با نوشتن قضیه ی سینوس ها در مثلث $CDE$ داریم: $$ \frac{DE}{sin( \widehat{DCE})} = \frac{CE}{sin( \widehat{CDE} )} $$ و با نوشتن قضیه ی سینوس ها در مثلث $ABD$ داریم: $$ \frac{BD}{sin( \widehat{BAD} )} = \frac{AD}{sin( \widehat{ABD} )} $$ با تقسیم طرفین این دو تساوی داریم: $$ \frac{DE}{BD} . \frac{sin( \widehat{BAD})}{sin( \widehat{DCE})} = \frac{CE}{AD} . \frac{sin( \widehat{ABD)}}{sin( \widehat{CDE} )} $$ که سمت چپ این تساوی برابر یک است( چراکه $DE=BD$ و همچنین چون $ \widehat{BAD} =60 , \widehat{DCE} =120$ بنابراین $sin( \widehat{DCE})=sin(\widehat{BAD} )$ ) . پس: $$\frac{CE}{AD} = \frac{sin( \widehat{CDE} )}{sin( \widehat{ABD} )} (1) $$ حال داریم:

$$ \widehat{CDE} =180- \widehat{DCE} - \widehat{CED} $$

$$=60- \widehat{DEC} $$ و همچنین: $$ \widehat{ABD} = \widehat{ABC} - \widehat{DBC} $$ $$=60- \widehat{DBC} =60- \widehat{DEC} $$

پس زوایای $ \widehat{CDE} $ و $ \widehat{ABD} $ با هم برابرند و بنابراین طبق $(1)$ داریم: $AD=CE$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...