ریشه ها در اعداد مختلط

Question

تعداد ریشه‌های معادله $z^5+4z^4+3z^3+2z+1=0$ در درون دایره یکه $|z|<1$ را بیابید

Answer 1

با استفاده از قضیه روشه فرض کنیم:

$f(z)=4z^4+3z^3$ و $g(z)=z^5+2z+1$,

$ | f | =4+3=7$ و$ | g | =1+2+1=4$ که فرض شده $ | z | =1$.در نتیجه داریم:

$ | g | < | f | $ پس تعداد ریشه های $f(z)+g(z)=z^5+4z^4+3z^3+2z+1$ برابر با تعداد ریشه های $f$ یعنی 4 است.