به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
108 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

قضیه :فرض کنیم ‎$ I $‎ یک ایده‌آل همگن از حلقه‌ی ‎$R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]$‎ باشد. فرض کنیم ‎${\rm dim}(R/I)=q $‎. حلقه‌ی خارج ‌قسمتی ‎$ R/I $‎ گرنشتاین است اگر و تنها اگر ‎$ {\rm pd}(R/I)=n-q $‎ و ‎$ \beta^{R}_{n-q}{(R/I)}=1 $‎.

لطف می‌کنید این قضیه را با آوردن یک مثال توضیح دهید.

مرجع: کتاب( Graded Syzygies (Irena Peeva قضیه 25.7

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

در حلقه ی $ S=K[ x,y,z]$ ایده آل $I=( x^{2} , y^{2} , xz,yz,z^{2} -xy) $ را در نظر بگیرید. لذا $n=3 $ و$ {\rm dim}(R/I)=q=0 $ و همچنین $ I $ ایده آلی همگن است(درجه ی هر مولد برابر$2$ است).

برای اینکه گرنشتاین بودن$ \frac{S}{I} $ را بررسی کنیم کافیست ببینیم آیا $ {\rm pd}(R/I)=n-q=3-0 $‎ و همچنین $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎ است یا نه اگر این دو رابطه برقرار باشد حلقه گرنشتاین است.

اگر $ Resolution $ را برای $ \frac{S}{I} $ بنویسیم داریم:

$$0 \rightarrow S(-4) \rightarrow S(-3)^{5} \rightarrow S(-2)^{5} \rightarrow S \rightarrow 0 $$ چون بعد از $ S $ فقط سه مرحله دیگر رفته ایم لذا $pd( \frac{S}{I} )=3 $ و در مرحله ی سوم($ S(-4)$ ) توان برابر $1$ است لذا $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎.

پس این حلقه گرنشتاین است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...