شرط معادل گرنشتاین بودن حلقه بر اساس بعد تصویری و اعداد بتی

Question

قضیه :فرض کنیم ‎$I$‎ یک ایده‌آل همگن از حلقه‌ی ‎$R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]$‎ باشد. فرض کنیم ‎${\rm dim}(R/I)=q$‎. حلقه‌ی خارج ‌قسمتی ‎$R/I$‎ گرنشتاین است اگر و تنها اگر ‎${\rm pd}(R/I)=n-q$‎ و ‎$\beta^{R}_{n-q}{(R/I)}=1$‎.

لطف می‌کنید این قضیه را با آوردن یک مثال توضیح دهید.

Answer 1

در حلقه ی $S=K[ x,y,z]$ ایده آل $I=( x^{2} , y^{2} , xz,yz,z^{2} -xy)$ را در نظر بگیرید. لذا $n=3$ و${\rm dim}(R/I)=q=0$ و همچنین $I$ ایده آلی همگن است(درجه ی هر مولد برابر$2$ است).

برای اینکه گرنشتاین بودن$\frac{S}{I}$ را بررسی کنیم کافیست ببینیم آیا ${\rm pd}(R/I)=n-q=3-0$‎ و همچنین $\beta^{R}_{3}{(R/I)}=1$‎ است یا نه اگر این دو رابطه برقرار باشد حلقه گرنشتاین است.

اگر $Resolution$ را برای $\frac{S}{I}$ بنویسیم داریم:

$$0 \rightarrow S(-4) \rightarrow S(-3)^{5} \rightarrow S(-2)^{5} \rightarrow S \rightarrow 0$$ چون بعد از $S$ فقط سه مرحله دیگر رفته ایم لذا $pd( \frac{S}{I} )=3$ و در مرحله ی سوم($S(-4)$ ) توان برابر $1$ است لذا $\beta^{R}_{3}{(R/I)}=1$‎.

پس این حلقه گرنشتاین است.