در حلقه ی $ S=K[ x,y,z]$ ایده آل $I=( x^{2} , y^{2} , xz,yz,z^{2} -xy) $ را در نظر بگیرید. لذا $n=3 $ و$ {\rm dim}(R/I)=q=0 $ و همچنین $ I $ ایده آلی همگن است(درجه ی هر مولد برابر$2$ است).
برای اینکه گرنشتاین بودن$ \frac{S}{I} $ را بررسی کنیم کافیست ببینیم آیا $ {\rm pd}(R/I)=n-q=3-0 $ و همچنین $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $ است یا نه اگر این دو رابطه برقرار باشد حلقه گرنشتاین است.
اگر $ Resolution $ را برای $ \frac{S}{I} $ بنویسیم داریم:
$$0 \rightarrow S(-4) \rightarrow S(-3)^{5} \rightarrow S(-2)^{5} \rightarrow S \rightarrow 0 $$
چون بعد از $ S $ فقط سه مرحله دیگر رفته ایم لذا $pd( \frac{S}{I} )=3 $ و در مرحله ی سوم($ S(-4)$ ) توان برابر $1$ است لذا $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $.
پس این حلقه گرنشتاین است.
