Question

تثلیث زاویه را شرح دهید.

Answer 1

مسئلة تقسیم زاویه ای مفروض به سه بخش مساوی که یکی از سه مسئله مشهور هندسه یونان باستان بود (دو مسئله دیگر: تضعیف مکعب و تربیع دایره ). بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی می‌توانستند به کمک خط کش(غیر مدرج) و پرگار وبا کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند؛ بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

تاریخچه کوتاهی از تثلیث:

اقلیدس در حدود $300$ ق م ، در قضیة $10$ مقاله اول، اصول نحوه تقسیم زاویه مفروضی را به دو بخش مساوی با خط کش و پرگار نشان داد. پیر ل . وانتسل ($1814ـ 1848$) ریاضیدان اروپایی ، در $1837$ با استفاده از نظریه معادله های جبری ثابت کرد که تثلیث زاویه با خط کش و پرگار در حالت کلی ناممکن است (کلاین ، ص $764$) اما بعضی زاویه های خاص ، مثلاً زاویه $90$، را می توان با خط کش و پرگار تثلیث کرد.

در قرن دوم یا سوم ق م ، هندسه دانان یونان روشهایی برای تثلیث زاویه از راههای دیگر یافتند ( رجوع کنید به هیث ، ج$ 1،$ ص $235ـ 244$). یکی از راههای تثلیث ابداعی یونانیان را می توان از روی کتاب مأخوذات منسوب به ارشمیدس ، که تنها ترجمه عربی دوره اسلامی آن به جا مانده است ، بازیافت . دایره ای به مرکز $C$ می کشیم و فرض می کنیم که تثلیث زاویه $PCA$ با نقطه های $P$ و $A$ روی دایره مطلوب است . از نقطة $A$ قطر $AB$ را می کشیم و آن را از طرف $B$ امتداد می دهیم . اکنون پاره خط $QR$ برابر با شعاع دایره را بین لبه بیرونی دایره و امتداد قطر چنان درج می کنیم که نقطه $Q$ روی دایره بین $P$ و $B$ باشد و نقطه $P$ بر راستای $RQ$ واقع شود. اکنون زاویه $QCR$ یک سوم زاویه $PCA $است . این ترسیم نمونه ای از ترسیمهای موسوم به «درج » در هندسه یونان است . درج یعنی قراردادن پاره خطی راست ، به طول مفروض ، بین دو منحنی مفروض چنانکه این پاره خط یا راستای آن از نقطه مفروضی بگذرد. برخی هندسه دانان یونان (مانند ارشمیدس ) این شیوه ترسیم را بدون توجیه اضافی می پذیرفتند.

غیاث الدین جمشید کاشانی در رساله وَتَر و جَیْب که باقی نمانده ولی به صورت شرحهایی که بعداً بر آن نوشته اند در دست است ، نشان داده است که تثلیث هر زاویه مفروض را می توان به مسئله حل معادله درجه سوم $px = q + 3 x$ که در آن $p$ و $q$ کمّیتهای مثبت معلومی هستند تحویل کرد ( رجوع کنید بهقاضی زاده رومی ، ص $44$). او روشی مبتنی بر تکرار برای یافتن $x$ (ریشه معادله ) ابداع کرد. در مورد تثلیث زاویه$3$ درجه ، این روش یک رشته تقریبهای سریعاً همگرا برای سینوس$1$ درجه عرضه می کند. وی سپس مقدار دقیق سینوس$1$ را به عنوان مبنای جدول سینوس جدیدی به کار برد (یوشکویچ ، ص $319$).

در ریاضیات اروپا، تثلیث بار دیگر در آثار فرانسوا ویت دیده می شود. او از تثلیث برای حل معادله درجه سوم $px = q + 3 x$ استفاده کرده است . روش جبری منجر به اعداد مختلط می شود که ویت از آن پرهیز داشت (کلاین ، ص$266$تا$272$).

منبع:

بنیاد دائره المعارف اسلامی

ویکی پدیا

Comments

تشکر از پاس تان

---

من ابوالفضل علیخانی از یزد به وسیله روش ابداعی خودم و با با رعایت کامل شرایط مسئله قادر به تثلیث هر زاویه ای هستم و در آینده ای نزدیک راه حل اون رو به صورت جهانی ثبت می کنم

---

الان یا بعدا مرا در جریان بگذارید تشکر

---

یه سوال، اگر کسی جواب یه همچین سوالاتی رو پیدا کرد چیکار باید بکنه؟چطور و از کجا استعلام بگیره و بفهمه اون روش یا جواب قبلا ارائه شده یا نه؟یا اینکه از دقت اون روش مطمئن بشه چون معمولا خطای رسم همیشه وجود داره توی سطوح پایین
و یه مورد دیگه، آیا جایی هست که بشه دنباله‌ یا الگویی رو ثبت کرد؟