آیا عددهای متعالی را نمی توان بر روی محور عددهای حقیقی نمایش داد؟

Question

در جایی خواندم که عدد پی، $\pi$، را روی محور اعداد نمی‌توان نمایش داد.

سوال من این است که منظور از عدم توانایی در نمایش دقیقاً به چه معناست؟ آیا در نمایش‌های هندسی صرفا مجاز به استفاده از پرگار و خط ‌ش غیرمدرج هستیم؟ آیا صرفا استفاده از پرگار و خط‌کش مدرج مجاز است؟ و یا اصلا موارد دیگری در روش پیدا کردن اعداد خاص روی محور اعداد مطرح است؟

چنانچه اصل ادعای مطرح شده در ابتدا مبنی بر عدم توانایی در نمایش اعداد غیرِجبری از جمله پی روی محور اعداد، درست نیست، اعلام بفرمایید.

من این قضیه رو در یک سند غیر معتبر خواندم لذا مرجع‌دهی نکردم.

با تشکر

Answer 1

اعداد متعالی ترسیم پذیر نیستند ولی قابل نمایش روی محور اعداد حقیقی هستند. چند مرجع معرفی می‌کنم:

1. درباره نمایشپذیری اعداد متعالی روی محور اعداد حقیقی کتاب precalculus mathematics for calculus اثر James stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson نشر cengage learning چاپ سال ۲۰۱۵ صفحه ۶.

2. درباره ترسیم ناپذیری اعداد متعالی کتاب Number Theory IV Transcendental Numbers اثر A. N. Parshin، I. R. Shafarevich نشر springer چاپ سال ۱۹۹۸ صفحات ۱۳،۱۴.

3. درباره معرفی اعداد مختلط بعنوان اعداد مسطح، دوبعدی و نقشه‌ای کتاب An Introduction to Complex Analysis for Engineers اثر Michael D. Alder چاپ سال ۱۹۹۷ صفحه ۹ پاراگراف اول.

Comments

@AmirHosein با سلام مجدد به دکتر گرامی: با مسئولیتهای روزانه ای که دارم کار مرا راحت کردید. ممنونم.

Answer 2

عددهای متعالی را می توان بر روی محور عددهای حقیقی نمایش داد. این نوع اعداد به عنوان اعداد پیوسته شناخته می شوند و محور عددهای حقیقی به عنوان محور پیوسته برای نمایش آنها استفاده می شود. به طور مثال، اعدادی مانند پای طبیعی$ e$ و عدد پی $π $که اعداد متعالی هستند، بر روی محور عددهای حقیقی قرار دارند.

در نمایش دقیقاً اعداد متعالی بر روی محور عددهای حقیقی، به دلیل بی نهایت بودن تعداد ارقام اعشاری آنها، نمی‌توان به صورت دقیق نمایش داد. اما می‌توان با استفاده از روش‌های تقریبی، مانند گرد کردن به تعداد مشخصی از ارقام اعشاری، به نمایش آنها پرداخت. در نمایش هندسی نیز، علاوه بر پرگار و خط‌کش مدرج، می‌توان از نمادها و شکل‌های هندسی دیگر نیز استفاده کرد. به عنوان مثال، در نمایش عدد پای طبیعی $e$، می‌توان با استفاده از منحنی تابع$ e^x$، این عدد را نمایش داد. لذا در روش پیدا کردن اعداد خاص روی محور اعداد، استفاده از روش‌های تقریبی و نمادها و شکل‌های هندسی دیگر نیز مجاز است.

Comments

@mahdiahmadileedari : بسیار عالی بود. توضیح علمی شما بهتر از هر مرجعی است. 1+