راهنمایی:
برای اثبات حکم کافی است نشان دهیم اگر $K$ عملگر فشرده باشد آنگاه $I-K$ وارون پذیر است.
اثبات : از $L(I-K)=I$ داریم $I-K$ یک به بک می باشد پس کاقیست نشان دهیم
$I-K$ پوشاست, بنابرین با فرض پوشایی, $I-K$
وارون پذیر می باشد و لذا وارون راست و چپ برابر بوده و حکم بدست می اید.
اثبات پوشایی $I-K$:
می خواهیم نشان دهیم
$R \big(I-K\big)=H $.
عملگر وارون پذیر
$$(I-K)^{-1}:R \big(I-K\big) \longrightarrow H$$
$H_i=((I-K)^{-1})^{i}(H)$
که می توان نشان داد(؟)
$$ H_i \nsupseteq H_{i+1}$$
اگر بخلف فرض کنیم پوشا نباشد با بطور معادل
$ \ H_{1}^ \bot \neq\{0\}$
با اتخاذ دنباله $ \lbrace u_i\rbrace $
که
$u_i\in H_j \cap H_{j+1}^{ \perp }$
و
$1=||u_i||$
بسادگی می توان با گرفتن این دنباله (؟) نشان دادکه ا عملگر $K$ فشرده نیست, بنابراین عملگر
$I-K$
پوشاست.
برای جزییات بیشتر اثبات پوشایی پس از تعمق بیشتر رجوع کنیدبه :
اثبات کامل
