سلام دوست عزیز،
ببین سوالتون نامفهوم هست، ولی من در حد ممکن سعی میکنم توضیحاتی اجمالی بدم که شاید بتونید سوالتون را دقیق کنید.
اول از اینکه بتوانید از قضایای ممکن و روش های وجود نقطه ثابت استفاده کنید نیاز دارید، مجموعه ای که $R^n$ روی آن عمل می کند مثل X دارای ساختار توپولوژیک یا هموار داشته باشد، و هم چنین عملتان نیز نسبت به ساختار گذاشته شده از ویژگی هایی مثل پیوستگی یا همواری برخوردار باشد.
بطور مثال اگر فرض کنیم X فضای توپولوژیک و عمل گروه پیوسته باشد و یک مجموعه فشرده و محدب را به خودش تصویر کند طیق قضیه نقطه ثابت براور عملتان دارای نقطه ثابت است.
ولی اگر فرض کنید $X=R^n$ باشد و عمل گروه تون خود عمل گروه باشد در این صورت به غیر از همانی نقطه ثابت دیگری ندارد. و یا حتی اگر مجموعه $X$ فضای اقلیدسی $R^n$ منهای مبدا باشد، در این صورت عملتان دارای نقطه ثابت نیست.
به سوال و م۳آله پایین نگاه کنید، شاید مفید باشه
پhttps://math.stackexchange.com/questions/461226/fixed-points-of-group-actions-in-convex-symmetric-sets
https://www.researchgate.net/publication/231942902_Fixed_points_of_Lie_group_actions_on_surfaces
