محاسبه طول ضلع ۸ضلعی منتظم

Question

فرض کنید قطر بزرگ هشت ضلعی منتظمی برابر با ۳۰۰ سانتی‌متر است؛ در این صورت طول هر کدام از اضلاع هست ضلعی چند سانتی‌متر خواهد بود؟ و چگونه محاسبه می‌شود؟

Answer 1

ابتدامجموع زوایای ۸ ضلعی را بدست می آوریم $ (n-2)×180$ سپس حاصل را بر۸ تقسیم مکنیم تا هرزایه ۸ضلعی عدد 135 درجه بدست آید حال قطر هایی که از راس میگذرند رارسم کنیم ۸ضلعی به۸مثلث متساوی الساقین تقسیم می شود.ساقهای این مثلثها همگی ۱۵۰ سانتیمتر مباشند .یکی از ݥثلث ها را در نظر می گیریم ضلع سوم این ݥثلث که ضلع ۸ضلعی میباشدرا x میگیریم زاویه راس ۴۵ درجه میباشدارتفاع وارد بر قاعده این مثلث رارسم کرده اگر این مثلث قايم الزاوه جدید را oHA بنامیم وتر آن ۱۵۰ و ضلع دیگر x/2 وزاویهO مساوی 22.5 درجه خواهد بود. $sin22.5= \frac{x/2}{150} = \frac{x}{300} $

sin22.5 را از فرمول نصف کمان بدست می آوریم $(sinx)^2= \frac{1-cos2x}{2} $ $(sin22.5)^2= \frac{1-cos45}{2} = \frac{1- \frac{√2}{2} }{2} $ درنتیجه داریم $sin22.5= \frac{ \sqrt{2-√2} }{2} = \frac{x}{300} $ اگر این معدله را حل کنیم $x=150 \sqrt{2-√2} $ بدست می آید.پایان.

Answer 2

جواب با استفاده از فیثاغورث و بدون مثلثات:

اگر تمام قطرهای بزرگ را رسم کنیم 8 مثلث متساوی الساقین با زاویه راس 45 و طول ساق 150 خواهیم داشت

اگر 2 مثلث مجاور هم را انتخاب کنیم و 2 ساق بر هم عمود خواهند شد و اگر انتهای این ساقها را بهم وصل کنیم یک مثلث قائم الزاویه بزرگ و 2 مثلث قائم الزاویه کوچک خواهیم داشت که وتر آنها یک ضلع هشت ضلعی خواهد بود وتر قائم الزاویه بزرگ برابر است با

$$150 \sqrt{2} $$

نصف این ضلع برابر است با یکی از اضلاع قائمه مثلث کوچک

برای محاسبه ضلع قائمه دیگر مثلث کوچک از مساحت مثلث قائمه بزرگ کمک میگیریم

$$ \frac{(150)(150)}{2} = \frac{h150 \sqrt{2} }{2} $$ $$h= \frac{150}{ \sqrt{2} } $$

حال ضلع (ساق عمود بر وتر مثلث بزرگ) منهای h برابر است با ضلع دیگر مثلث کوچک

اگر یکی از اضلاع قائمه مثلث کوچک را a و دیگری را b و وتر (یک ضلع 8 ضلعی) را c بنامیم خواهیم داشت:

$$a=75 \sqrt{2} $$ $$b=150- \frac{150}{ \sqrt{2} } $$ $$c^2=a^2+b^2$$

بسادگی خواهیم داشت

$$c=150 \sqrt{2+ \sqrt{2} } $$