اثبات مربع کامل بودن یک عبارت جبری

Question

ثابت کنید حاصل ضرب 4 عدد طبیعی به اضافه یک مربع کامل است.(از اتحاد ها کمک بکیرید).من از اتحاد جمله مشترک استفاده کردم

Answer 1

چهار عدد طبیعی باید متوالی باشند اعداد رابه شکل$(n-2)((n-1)n(n+1)$درنظر میگیریم ویک واحد اضافه می کنیم.ابتدا از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم $(n^2-1)(n^2-2n) + 1$سپس از اتحاد عامل مشترک ای عبارت به شکل زیر میشود $n^4-(2n+1)n^2+2n+1$ که این عبارت را میتوان به صورت مجذور یک سه جمله ای به شکل زیر نوشت $(n^2-n-1)^ 2$

روش ذوم: اگر چهار عدد متوالی را بصورت (n(n+1)(n+2)(n+3 بنویسیم ودرهم ضرب کنیم وسپس یک واحد اضافه کنیم حاصل بصورت زیر خواهد بود $(n^{2} +n) ( n^{2} +5n+6)+1= n^{4} +6 n^{3} +11 n^{2} +6n+1$ اگر به سه جمله آخر نگاه کنیم جمله$11 n^{2} $راتبدیل به دو جمله $2 n^{2}+9 n^{2} $ میکنیم تا سه جمله آخر مربع کامل شودبنابراین عبارت بشکل زیر میشود

$ n^{4}+6 n^{3} +2 n^{2} +9 n^{2} +6n+1= n^{4} +2 n^{2}(3n+1) +( 3n+1)^{2} $ اگر $ n^{2}=a $ و3n+1)=b) درنظر بگیریم عبارت بشکل$ a^{2} +2ab+ b^{2}= (a+b)^{2} $ خواهدشد حال اگر بجای a و b مقادیر بالاراقرار دهیم

$ ( n^{2}+3n+1) ^{2} $ این عبارت مربع کامل است

Comments

با تشکر از پاسخ تان چه گونه یک دانش آموز کلاس  نه تشخیص دهد که عبارت بالا مجذور یک عبارت جبری سه جمله ای است؟ سپاس.

---

چون عبارت آخر اگرمرتب شود یک پنج جمله ای است ومربع یک دو جمله ای سه جمله دارد بنابراین با پنج جمله ای داده شده تشخیص می دهیم که باید مربع سه جمله ای باشد اما اینکه چگونه تشخیص دهیم که سه جمله ای n^2-n-1  میباشد کمی ابتکار لازم است وآن که  جمله 2n یکبار در n^2 ضرب شده است ویکبار در عدد یک .همچنین با یک n^2 اضافه کردن وکم کردن به مربع سه جمله ای فوق میرسیم.

---

سپاس اما درک مربع بودن دشوار است

---

سپاس اما درک مربع بودن دشوار است اگر راه بهتری دارید ارائه فرمایید.

---

در روش دوم توضیحات کامل داده شده است.