به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
289 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (648 امتیاز)

ثابت کنید حاصل ضرب 4 عدد طبیعی به اضافه یک مربع کامل است.(از اتحاد ها کمک بکیرید).من از اتحاد جمله مشترک استفاده کردم

مرجع: کتاب جویای مجد

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mdardah (1,060 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

چهار عدد طبیعی باید متوالی باشند اعداد رابه شکل$(n-2)((n-1)n(n+1)$درنظر میگیریم ویک واحد اضافه می کنیم.ابتدا از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم $(n^2-1)(n^2-2n) + 1$سپس از اتحاد عامل مشترک ای عبارت به شکل زیر میشود $n^4-(2n+1)n^2+2n+1$ که این عبارت را میتوان به صورت مجذور یک سه جمله ای به شکل زیر نوشت $(n^2-n-1)^ 2$

روش ذوم: اگر چهار عدد متوالی را بصورت (n(n+1)(n+2)(n+3 بنویسیم ودرهم ضرب کنیم وسپس یک واحد اضافه کنیم حاصل بصورت زیر خواهد بود $(n^{2} +n) ( n^{2} +5n+6)+1= n^{4} +6 n^{3} +11 n^{2} +6n+1$ اگر به سه جمله آخر نگاه کنیم جمله$11 n^{2} $راتبدیل به دو جمله $2 n^{2}+9 n^{2} $ میکنیم تا سه جمله آخر مربع کامل شودبنابراین عبارت بشکل زیر میشود

$ n^{4}+6 n^{3} +2 n^{2} +9 n^{2} +6n+1= n^{4} +2 n^{2}(3n+1) +( 3n+1)^{2} $ اگر $ n^{2}=a $ و3n+1)=b) درنظر بگیریم عبارت بشکل$ a^{2} +2ab+ b^{2}= (a+b)^{2} $ خواهدشد حال اگر بجای a و b مقادیر بالاراقرار دهیم

$ ( n^{2}+3n+1) ^{2} $ این عبارت مربع کامل است

توسط rezasalmanian (648 امتیاز)
با تشکر از پاسخ تان چه گونه یک دانش آموز کلاس  نه تشخیص دهد که عبارت بالا مجذور یک عبارت جبری سه جمله ای است؟ سپاس.
توسط mdardah (1,060 امتیاز)
چون عبارت آخر اگرمرتب شود یک پنج جمله ای است ومربع یک دو جمله ای سه جمله دارد بنابراین با پنج جمله ای داده شده تشخیص می دهیم که باید مربع سه جمله ای باشد اما اینکه چگونه تشخیص دهیم که سه جمله ای n^2-n-1  میباشد کمی ابتکار لازم است وآن که  جمله 2n یکبار در n^2 ضرب شده است ویکبار در عدد یک .همچنین با یک n^2 اضافه کردن وکم کردن به مربع سه جمله ای فوق میرسیم.
توسط rezasalmanian (648 امتیاز)
سپاس اما درک مربع بودن دشوار است
توسط rezasalmanian (648 امتیاز)
سپاس اما درک مربع بودن دشوار است اگر راه بهتری دارید ارائه فرمایید.
توسط mdardah (1,060 امتیاز)
در روش دوم توضیحات کامل داده شده است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...