به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
62 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian

ثابت کنید حاصل ضرب 4 عدد طبیعی به اضافه یک مربع کامل است.(از اتحاد ها کمک بکیرید).من از اتحاد جمله مشترک استفاده کردم

مرجع: کتاب جویای مجد

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mdardah
ویرایش شده توسط mdardah

چهار عدد طبیعی باید متوالی باشند اعداد رابه شکل$(n-2)((n-1)n(n+1)$درنظر میگیریم ویک واحد اضافه می کنیم.ابتدا از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم $(n^2-1)(n^2-2n) + 1$سپس از اتحاد عامل مشترک ای عبارت به شکل زیر میشود $n^4-(2n+1)n^2+2n+1$ که این عبارت را میتوان به صورت مجذور یک سه جمله ای به شکل زیر نوشت $(n^2-n-1)^ 2$

روش ذوم: اگر چهار عدد متوالی را بصورت (n(n+1)(n+2)(n+3 بنویسیم ودرهم ضرب کنیم وسپس یک واحد اضافه کنیم حاصل بصورت زیر خواهد بود $(n^{2} +n) ( n^{2} +5n+6)+1= n^{4} +6 n^{3} +11 n^{2} +6n+1$ اگر به سه جمله آخر نگاه کنیم جمله$11 n^{2} $راتبدیل به دو جمله $2 n^{2}+9 n^{2} $ میکنیم تا سه جمله آخر مربع کامل شودبنابراین عبارت بشکل زیر میشود

$ n^{4}+6 n^{3} +2 n^{2} +9 n^{2} +6n+1= n^{4} +2 n^{2}(3n+1) +( 3n+1)^{2} $ اگر $ n^{2}=a $ و3n+1)=b) درنظر بگیریم عبارت بشکل$ a^{2} +2ab+ b^{2}= (a+b)^{2} $ خواهدشد حال اگر بجای a و b مقادیر بالاراقرار دهیم

$ ( n^{2}+3n+1) ^{2} $ این عبارت مربع کامل است

توسط rezasalmanian
با تشکر از پاسخ تان چه گونه یک دانش آموز کلاس  نه تشخیص دهد که عبارت بالا مجذور یک عبارت جبری سه جمله ای است؟ سپاس.
توسط mdardah
چون عبارت آخر اگرمرتب شود یک پنج جمله ای است ومربع یک دو جمله ای سه جمله دارد بنابراین با پنج جمله ای داده شده تشخیص می دهیم که باید مربع سه جمله ای باشد اما اینکه چگونه تشخیص دهیم که سه جمله ای n^2-n-1  میباشد کمی ابتکار لازم است وآن که  جمله 2n یکبار در n^2 ضرب شده است ویکبار در عدد یک .همچنین با یک n^2 اضافه کردن وکم کردن به مربع سه جمله ای فوق میرسیم.
توسط rezasalmanian
سپاس اما درک مربع بودن دشوار است
توسط rezasalmanian
سپاس اما درک مربع بودن دشوار است اگر راه بهتری دارید ارائه فرمایید.
توسط mdardah
در روش دوم توضیحات کامل داده شده است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...