چهار عدد طبیعی باید متوالی باشند
اعداد رابه شکل$(n-2)((n-1)n(n+1)$درنظر میگیریم ویک واحد اضافه می کنیم.ابتدا از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم
$(n^2-1)(n^2-2n) + 1$سپس از اتحاد عامل مشترک ای عبارت به شکل زیر میشود
$n^4-(2n+1)n^2+2n+1$ که این عبارت را میتوان به صورت مجذور یک سه جمله ای به شکل زیر نوشت
$(n^2-n-1)^ 2$
روش ذوم: اگر چهار عدد متوالی را بصورت (n(n+1)(n+2)(n+3 بنویسیم ودرهم ضرب کنیم وسپس یک واحد اضافه کنیم حاصل بصورت زیر خواهد بود
$(n^{2} +n) ( n^{2} +5n+6)+1= n^{4} +6 n^{3} +11 n^{2} +6n+1$ اگر به سه جمله آخر نگاه کنیم جمله$11 n^{2} $راتبدیل به دو جمله $2 n^{2}+9 n^{2} $ میکنیم تا سه جمله آخر مربع کامل شودبنابراین عبارت بشکل زیر میشود
$ n^{4}+6 n^{3} +2 n^{2} +9 n^{2} +6n+1= n^{4} +2 n^{2}(3n+1) +( 3n+1)^{2} $ اگر $ n^{2}=a $ و3n+1)=b) درنظر بگیریم عبارت بشکل$ a^{2} +2ab+ b^{2}= (a+b)^{2} $ خواهدشد حال اگر بجای a و b مقادیر بالاراقرار دهیم
$ ( n^{2}+3n+1) ^{2} $ این عبارت مربع کامل است
