در خانوادهٔ ۳ فرزندیای یک فرزند دختر است. احتمال آنکه دو فرزند دیگر پسر باشند چقدر است؟

Question

خانواده‌ای ۳ فرزند دارد و می‌دانیم که یکی از آنها دختر است. احتمال آنکه دو فرزند دیگر پسر باشند چقدر است؟

نظر خودم این است که چون می‌دانیم که یکی دختر است پس حالتِ (پ پ پ) حذف می‌شود و جواب $\frac{3}{7}$ می‌شود. اما بین $\frac{3}{7}$ و $\frac{3}{8}$ شک دارم.

Answer 1

خانواده ایی سه فرزند داریم . تعداد حالات سه فرزند برابر $n(S)=2^3=8$ .

حال میدانیم یکی از فرزندان دختر است. مجموعه حالاتی که حداقل یکی از این فرزندان دختر است را مجموعه $A$ در نظر میگیریم در این صورت تعداد حالات برابر خواهد شد : $$A=\{(g,bb),(bgb),(bbg),(ggb),(gbg),(bgg),(ggg)\}$$ حال مجموعه حالاتی که دو فرزند پسر دارد را مجموعه $B$ مینامیم که برابر است : $$B=\{(g,bb),(bgb),(bbg)\}$$

در نتیجه چون احتمال فضای متناهی و همشانس است احتمال خواسته شده برابر :

$$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)}=\dfrac{3}{7}$$

که $P_A(B)$ یعنی احتمال $B$ با علم به اینکه پیشامد $A$ اتفاق افتاده است .