اگر در حلقه ی $S=K[ x_{1} ,..., x_{n} ] $ مجموعه ا ی متناهی شامل تک جمله ای های در $ S $ مانند $A=\{ u_{1} ,..., u_{m} \} $ را داشته باشیم آنگاه زیر حلقه ای از $ S $ را بصورت $ K[A]=K [u_{1} ,..., u_{m}]$ تعریف میکنیم و آن را حلقه ی توریک($ Toric \ \ ring $) می نامیم.
اگر تعداد عناصر $ A$ برابر $ m $ عنصر باشد آنگاه حلقه ی چند جمله ای های $R=K[ t_{1} ,..., t_{m} ] $ را در نظر میگیریم و همریختی پوشا را بصورت زیر تعریف میکنیم.
$$ \pi: R \rightarrow K[A] $$
که در آن $ \pi(t_{i} )=u_{i} $ است.
ایده آل توریک برابر هسته ی این همریختی است.و آن را با نماد $I_{A} $ نمایش میدهیم.
مثال:
قرار دهید $A=\{x, x^{2},x\} $ لذا $$ \pi: R=K[ t_{1},t_{2},t_{3}] \rightarrow K[A] $$ است که داریم:
$ \pi(t_{1} )=x $و$ \pi(t_{2} )=x^{2}$و$ \pi(t_{3} )=x$
با کمی دقت در نحوه تعریف می بینیم عناصری مانند $t_{3}-t_{1} $و$t_{3} ^{2} -t_{2} $و$ t_{1} ^{2} -t_{2} $ عناصری از هسته هستند.
طبق قضیه ای در کتابی که در آخر معرفی شده $ I_{A} $ توسط دو جمله ای هایی مانند $u-v$ تولید می شود که در آن $\pi(v)=\pi(u)$ لذا به راحتی ثابت می شود که $I_{A} =(t_{3} ^{2} -t_{2} ,t_{3}-t_{1})=(t_{1} ^{2} -t_{2} ,t_{3}-t_{1} ) $ یعنی دو مجموعه مولد مینیمال دارد.
برای مطالعه ی بیشتر در مورد ایده آل توریک می توانید به فصل $ 10 $ کتاب $Monomial \ Ideals $ هرزوگ و هیبی مراجعه نمایید.
