به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
673 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381 (47 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us

ثابت کنید که اگر شعاع دایره محیطی مثلث ABC برابر R باشد ، آنگاه مساحت آن از رابطه مقابل بدست می آید $ S =2R^2.sinA.sinB.sinC $ ( منظور مساحت مثلث است ) سوالات مربوط به فصل ۳ هندسه یازدهم

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,060 امتیاز)
انتخاب شده توسط Ms181381
 
بهترین پاسخ

شعاع دایره محیطی هر مثلث برابر است با $R= \frac{abc}{4S} $درنتیجه داریم $S= \frac{abc}{4R} $حال اگر بجای اضلاع مثلث از فرمول $ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}=2R $استفاده کنیم

$S= \frac{2RsinA.2RsinB.2RsinC}{4R} = \frac{2 R^{2}sinA.sinB.sinC }{1} =2 R^{2} sinAsinBsinC$بدست می آید.

برای اثبات قضایا مسئله بالا از شکل زیر استفاده می کنیم enter image description here

AD قطر دایره محیطی مثلث است ومثلث های ABH وADC همنهشت هستند(به حالت دو زاویه مساوی) اگر نسبت همنهشتی را بنویسیم داریم:$ \frac{AH}{b} = \frac{c}{2R} $اگر دراین تناسب به جای AH که ارتفاع مثلث ABC میباشد مقدار $ \frac{2S}{a} $ قرار دهیم($ُS= \frac{a.AH}{2} $) خواهیم داشت $ \ \frac{ \frac{2S}{a} }{b} = \frac{c}{2R} $ درنتیجه 4RS=abc و$R= \frac{abc}{4S} $

وبرای سینوس ها میتوانیم از طریق مساحت مثلث یا بکمک شکل اثبات کنیم مساحت مثلث ABCبرابراست با $ \frac{a h_{a} }{2} = \frac{b h_{b} }{2} = \frac{c h_{c} }{2} $ درنتیجه داریم مثلاAH=csinB=$ h_{a} $ یعنی acsinB=basinC=cbsinA هرگاه جفت -جفت این تساویها راساده کنیم داریم$ \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = \frac{a}{sinA} $ واما چرا این نسبت ها برابر 2R است ؟ باتوجه به شکل$ \frac{c}{2R} = \frac{AH}{b} $اگر به جای AH مقدار CsinB قرار دهیم ومقداردو کسر را به c ساده کنیم خواهیم داشت $ \frac{b}{sinB} =2R$ وبرای نسبت های دیگر نیز به همین ترتیب بدست میآید.

توسط Ms181381 (47 امتیاز)
با تشکر لطفا قضیه ای که برای حل این سوال از آن استفاده کردید را اثبات کنید
توسط mdardah (1,060 امتیاز)
اثبات قضایا در شکل توضیح داده شده است
توسط Ms181381 (47 امتیاز)
با سلام   تشکر از پاسخ شما فکر میکنم که به اشتباه از مفهوم همنهشتی به جای تشابه استفاده کرده اید

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...