به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
61 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381
ویرایش شده توسط good4us

ثابت کنید که اگر شعاع دایره محیطی مثلث ABC برابر R باشد ، آنگاه مساحت آن از رابطه مقابل بدست می آید $ S =2R^2.sinA.sinB.sinC $ ( منظور مساحت مثلث است ) سوالات مربوط به فصل ۳ هندسه یازدهم

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah
انتخاب شده توسط Ms181381
 
بهترین پاسخ

شعاع دایره محیطی هر مثلث برابر است با $R= \frac{abc}{4S} $درنتیجه داریم $S= \frac{abc}{4R} $حال اگر بجای اضلاع مثلث از فرمول $ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}=2R $استفاده کنیم

$S= \frac{2RsinA.2RsinB.2RsinC}{4R} = \frac{2 R^{2}sinA.sinB.sinC }{1} =2 R^{2} sinAsinBsinC$بدست می آید.

برای اثبات قضایا مسئله بالا از شکل زیر استفاده می کنیم enter image description here

AD قطر دایره محیطی مثلث است ومثلث های ABH وADC همنهشت هستند(به حالت دو زاویه مساوی) اگر نسبت همنهشتی را بنویسیم داریم:$ \frac{AH}{b} = \frac{c}{2R} $اگر دراین تناسب به جای AH که ارتفاع مثلث ABC میباشد مقدار $ \frac{2S}{a} $ قرار دهیم($ُS= \frac{a.AH}{2} $) خواهیم داشت $ \ \frac{ \frac{2S}{a} }{b} = \frac{c}{2R} $ درنتیجه 4RS=abc و$R= \frac{abc}{4S} $

وبرای سینوس ها میتوانیم از طریق مساحت مثلث یا بکمک شکل اثبات کنیم مساحت مثلث ABCبرابراست با $ \frac{a h_{a} }{2} = \frac{b h_{b} }{2} = \frac{c h_{c} }{2} $ درنتیجه داریم مثلاAH=csinB=$ h_{a} $ یعنی acsinB=basinC=cbsinA هرگاه جفت -جفت این تساویها راساده کنیم داریم$ \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = \frac{a}{sinA} $ واما چرا این نسبت ها برابر 2R است ؟ باتوجه به شکل$ \frac{c}{2R} = \frac{AH}{b} $اگر به جای AH مقدار CsinB قرار دهیم ومقداردو کسر را به c ساده کنیم خواهیم داشت $ \frac{b}{sinB} =2R$ وبرای نسبت های دیگر نیز به همین ترتیب بدست میآید.

توسط Ms181381
با تشکر لطفا قضیه ای که برای حل این سوال از آن استفاده کردید را اثبات کنید
توسط mdardah
اثبات قضایا در شکل توضیح داده شده است
توسط Ms181381
با سلام   تشکر از پاسخ شما فکر میکنم که به اشتباه از مفهوم همنهشتی به جای تشابه استفاده کرده اید

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...