اثبات مجموع ترکیب های 0 تا n تایی

Question

با سلام کسی میتونه توضیح بده چرا $ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n $ خودم هرکاری کردم نتونستم اثباتش کنم

Answer 1

سلام

مجموعه ی n عضوی A را در نظر بگیرید.

چه تعداد مجموعه ی 2 عضوی می توان از آن ساخت؟ پاسخ برابر است با : $ \binom{n}{2} $ به همین ترتیب تعداد مجموعه های 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، و. ... را بدست می آوریم و آنها را با هم جمع میکنیم. حاصل کار تا اینجا برابر سمت چپ تساوی است. خب برای مجموعه ی قابل ساختی که صحبت از آن شد تعداد کل مجموعه ها چند تا می شود؟ پاسخ: هر عضو مجموعه ی اصلی A دو حالت انتخاب دارد ، باشد یا نباشد که می شود $ 2^n $ هر دو روش شمردن ما منجر به شمارش تعداد زیر مجموعه های مجموعه ی A است. لذا قاعدتا با هم برابر است. پس دو طرف تساوی با هم برابر هستند.