به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
594 بازدید
در دانشگاه توسط ferhadkonar (16 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

با سلام

فرض کنید ما مجموعه ای با اعداد$ \{2,3,4,5\}$ داریم ، $$ \binom{4}{2} =C(4,2) = 6$$

و حالات ممکن میشود:

$$\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}$$

آیا فرمولی برای محاسبه مجموع حاصلضرب این ترکیبات وجود دارد؟

$$ 6+8+10+12+15+20=?$$

که برای تمام ترکیب ها عملی باشه؟ به عنوان مثال اگه یک مجموعه با $10$ عدد داشته باشیم و بخواهیم مجموع حاصلضرب ترکیب های $C(10,4)$ را حساب کنیم؟

با تشکر

توسط A Math L (2,258 امتیاز)
برای حالت های 2 تایی ( اعداد پست سر هم هستند و $n$ بزرگترین و $m$ کوچکترین اعداد مجموعه اند  ) =

$$ \frac{(  \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}  )^2-( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{m(m-1)(2m-1)}{6} )}{2} $$

که برابر است با نصف ، مجموع اعداد به توان 2 ، منهای جموع تک تک اعداد به توان 2

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط amirabbas (1,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط amirabbas

روش اول

مجموعه $\lbrace a,b,c\rbrace $ را در نظر میگیریم.

$$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $$ $$ ab + bc + ac = \frac{1}{2}((a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)) $$

با تعمیم نتیجه بالا برای مجموعه $\lbrace a_1, a_2 ... , a_m\rbrace$ می توان نوشت:

$$S(m,2) = \frac{1}{2}( (\sum_{i=1}^ma_i)^2 - \sum_{i=1}^ma_i^2 )$$

به طوریکه $S(m,2)$ را مجموع حاصلضرب ترکیب های دوتایی می نامیم.

سعی می کنیم با استفاده از $S(m,2)$ فرمولی برای $S(m, 3)$ بدست آوریم. اگر ضرب $(ab+bc+ac)(a+b+c)$ را انجام دهیم و مانند فرمول قبلی نتیجه را تعمیم دهیم خواهیم داشت:

$$ S(m,3) = \frac{1}{3}( (\sum_{i=1}^ma_i)(S(m,2) - \sum_{i=1}^ma_i^2) + \sum_{i=1}^ma_i^3 ) $$

که در فرمول بالا $S(m,3)$ مجموع حاصلضرب ترکیب های سه تایی است. می توان این روش را ادامه داد و فرمول هایی برای مقادیر بالاتر هم یافت.


روش دوم

تابع $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ را در نظر بگیریم.

اگر ریشه های این تابع را $x_1,x_2,x_3$ بنامیم بر طبق فرمول های ویت می توان نوشت:

$$ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} $$

اما $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $ پس:

$$ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{f'(0)}{a} $$

حالا اگر برای مجموعه $\lbrace a,b,c \rbrace$ تابع زیر را بنویسیم؛

$$ g(x) = (x-a)(x-b)(x-c) $$

بر طبق نتایج قبلی :

$$ ab + bc + ac = g'(0) $$

در برخی موارد که محاسبه مشتق تابع مذکور در $x=0$ آسان باشد استفاده از مشتق و فرمول های ویت می تواند کمک کند در غیر اینصورت مجبوریم حاصلضرب ها در فرایند مشتق گیری محاسبه کنیم.

به عنوان مثال می خواهیم مجموع حاصل ضرب $C(10, 4)$ را برای مجموعه زیر محاسبه کنیم.

$$ \lbrace a_1, a_2, ... , a_{10} \rbrace $$

تابع $h(x)$ را به دو صورت می نویسیم:

$$ h(x) = b_{10}x^{10} + b_9x^9 + ... + b_0 $$ $$ h(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{10}) $$

در اولی با توجه به فرمول های ویت می دانیم :

$$ a_1a_2a_3a_4 + ... + a_7a_8a_9a_{10} = \frac{b_6}{b_{10}} $$

اما:

$$ h^{(6)}(x) = 6!b_6 + .... $$

پس حاصل ضرب $C(10, 4)$ با فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$ a_1a_2a_3a_4 + ... + a_7a_8a_9a_{10} = \frac{h^{(6)}(0)}{6!} $$

به طوری که $h^{(6)}(x)$ مشتق ششم تابع است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...