روش اول
مجموعه $\lbrace a,b,c\rbrace $ را در نظر میگیریم.
$$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $$
$$ ab + bc + ac = \frac{1}{2}((a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)) $$
با تعمیم نتیجه بالا برای مجموعه $\lbrace a_1, a_2 ... , a_m\rbrace$ می توان نوشت:
$$S(m,2) = \frac{1}{2}( (\sum_{i=1}^ma_i)^2 - \sum_{i=1}^ma_i^2 )$$
به طوریکه $S(m,2)$ را مجموع حاصلضرب ترکیب های دوتایی می نامیم.
سعی می کنیم با استفاده از $S(m,2)$ فرمولی برای $S(m, 3)$ بدست آوریم.
اگر ضرب $(ab+bc+ac)(a+b+c)$ را انجام دهیم و مانند فرمول قبلی نتیجه را تعمیم دهیم خواهیم داشت:
$$ S(m,3) = \frac{1}{3}( (\sum_{i=1}^ma_i)(S(m,2) - \sum_{i=1}^ma_i^2) + \sum_{i=1}^ma_i^3 ) $$
که در فرمول بالا $S(m,3)$ مجموع حاصلضرب ترکیب های سه تایی است.
می توان این روش را ادامه داد و فرمول هایی برای مقادیر بالاتر هم یافت.
روش دوم
تابع $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ را در نظر بگیریم.
اگر ریشه های این تابع را $x_1,x_2,x_3$ بنامیم بر طبق فرمول های ویت می توان نوشت:
$$ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} $$
اما $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $ پس:
$$ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{f'(0)}{a} $$
حالا اگر برای مجموعه $\lbrace a,b,c \rbrace$ تابع زیر را بنویسیم؛
$$ g(x) = (x-a)(x-b)(x-c) $$
بر طبق نتایج قبلی :
$$ ab + bc + ac = g'(0) $$
در برخی موارد که محاسبه مشتق تابع مذکور در $x=0$ آسان باشد استفاده از مشتق و فرمول های ویت می تواند کمک کند در غیر اینصورت مجبوریم حاصلضرب ها در فرایند مشتق گیری محاسبه کنیم.
به عنوان مثال می خواهیم مجموع حاصل ضرب $C(10, 4)$ را برای مجموعه زیر محاسبه کنیم.
$$ \lbrace a_1, a_2, ... , a_{10} \rbrace $$
تابع $h(x)$ را به دو صورت می نویسیم:
$$ h(x) = b_{10}x^{10} + b_9x^9 + ... + b_0 $$
$$ h(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{10}) $$
در اولی با توجه به فرمول های ویت می دانیم :
$$ a_1a_2a_3a_4 + ... + a_7a_8a_9a_{10} = \frac{b_6}{b_{10}} $$
اما:
$$ h^{(6)}(x) = 6!b_6 + .... $$
پس حاصل ضرب $C(10, 4)$ با فرمول زیر قابل محاسبه است:
$$ a_1a_2a_3a_4 + ... + a_7a_8a_9a_{10} = \frac{h^{(6)}(0)}{6!} $$
به طوری که $h^{(6)}(x)$ مشتق ششم تابع است.
