اینکه یک اندازهٔ ضربی دارای marginal های پیوسته باشد به چه معنا است؟

Question

$$P\text{ is a product measure with continuous marginals}$$

سلام دوستان کمک می‌خواهم در مورد عبارت بالا. البته معنی کلمه به کلمهٔ این عبارت را می‌دانم ولی منظور رو متوجه نمی‌‌شوم. این قرار است یک خاصیت برای اندازهٔ احتمالیِ $P$ باشد. با تشکر.

Comments

@mrgod از اینکه پرسش را ویرایش کردید ممنون. ولی عنوان پرسش هنوز نامناسب بود. پرسش‌تان را دوباره ویرایش کردم. می‌توانید مقایسه کنید تا برای پرسش‌های بعدی‌تان بهتر اقدام کنید.

اما در مورد پرسش‌تان، تعریف marginal یا توزیع marginal ... را از آنالیز یا آمار می‌دانید؟

---

@AmirHosein
ممنون
 بله می دانم

---

جوابی که خودم رسیدم
منظور یک توزیع حاصل ضربی مثل P1*P2  هست که هر کدان ار توزیع های P1,P2  ( توزیع حاشیه ای !) های اون پیوسته باشند .

Answer 1

فرض کنید دو فضای اندازه‌پذیرِ $(S_1,\Sigma_1)$ و $(S_2,\Sigma_2)$ دارید با تابع‌های اندازهٔ $\mu_1$ و $\mu_2$. تابع اندازهٔ فضای اندازه‌پذیر حاصلضربی‌تان را با $\mu$ نمایش دهید. اندازهٔ حاشیه‌ای نخست‌تان را با $\mu_1'$ نمایش دهید. برای هر مجموعهٔ اندازه‌پذیرِ $A$ از $S_1$ دارید $$\mu_1'(A)=\mu(A\times S_2)=\mu_1(A)\times\mu_2(S_2)$$ اگر اندازه‌هایتان اندازهٔ احتمالی بوده‌باشند آنگاه دارید $\mu_2(S_2)=1$. در نتیجه $$\forall A\in\Sigma_1\colon\mu_1'(A)=\mu_1(A)\Longrightarrow\mu_1'=\mu_1$$ به روش یکسان نیز دارید $\mu_2'=\mu_2$. توجه کنید که اندازهٔ احتمالی بودن در اینجا به کار رفته است.

پس جمله‌ای که شما می‌خواهید در واقع می‌گوید دو فضای اندازه‌پذیر با تابع‌های اندازهٔ احتمالی پیوسته دارید و سپس فضای اندازه‌پذیر حاصلضربی‌شان را برداشته‌ایم.