ثابت کنید که نسبت محیط یک دایره به اندازهٔ قطرش همیشه یک عدد ثابت است.

Question

با نگاه به فرمول محیط یک دایره مشخص است که نسبت محیط دایره به قطرش برابر یک عدد ثابت یعنی $\pi$ است. اکنون پرسش من این است که بدون استناد به فرمول محیط، ثابت کنید که محیط دایره ضریبی ثابت از اندازهٔ قطرش است.

تلاش خودم: به نظرم باید فرض کنیم که نسبت محیط به قطر در دو دایره یکسان نباشد (فرض خلف). بعد ثابت کنیم که به تناقض می‌رسیم. ولی نتوانستم کاری انجام دهم.

Comments

منظور دقیق شما از این سوال چی هست؟
اگر نمایش هندسی عدد $\pi$ بر روی خط راست رو میخواهید تا امروز غیر ممکن است
اگر چیز دیگری است مطرح کنید تا به جواب برسید

---

نسبت محیط به قطر در هر دایره ای برابر $\pi$ میشه

---

درواقع این قضیه اثبات وجود عدد پی است منظورم از اثبات هندسی اینه که از اصول هندسه اقلیدسی استفاده کنیم و قضیه رو ثابت کنیم

---

در این صورت $3$ حالت داریم
$1$) اثبات جبری مقدار ثابت بودن عدد $\pi$
$2$) اثبات موجودیت و ثابت بودن و نمایش هندسی عدد $\pi$ در $2$ بعد
$3$) اثبات موجودیت عدد $\pi$ و نمایش آن در $1$ بعد که این حالت از مسائل حل نشده میباشد؛ وجود دارد ولی نمیتوان نمایش داد
منظور شما کدام است؟

---

گزینه یک و دو مد نظرم است ولی بیشتر یک

---

از لحاظ جبری شما فقط میتوانید یک محدوده یا تقریب بدست بیاورید و از لحاظ هندسی یک دایره به قطر $1$ دقیقا به اندازه $\pi$ است

---

خیلی ممنونم و ببخشید بلد نیستم امتیاز بدم وگرنه مثبت میدادم.ولی من ی جایی خونده بودم ک دو دایره در نظر گرفته بود و فرض خلف میگرفت ک نسبت محیط ب قطر یکسان نباشه بعد ی خط در نظر میگرفت و فرض میکرد نسبت محیط ب قطر یکی از ان دو دایره از این خط کمتره و ب تناقض میرسید برای حالت بزرگتر هم ب تناقض میرسید من اثبات ب این صورت و به صورت جامع میخوام ممنون

---

در باره فرض خلف در سوال قبلی توضیح دادم کامل مرور کنید متوجه نشدین متن جواب رو برام بفرستین تا کامل توضیح بدم
اگر گوشه راست بالا مثلث رو به بالا رو بزنید امتیاز مثبت میده اگر مثلث رو به پایین رو بزنید امتیاز منفی میده
فقط سعی کنید از تکرار بپرهيزيد تا حقوق دیگران ضایع نشه

---

@Smhm روی ویرایش پرسش کلیک کنید و «هندسهٔ اقلیدسی» را از جلوی مرجع پاک کنید. مرجع یعنی کتاب یا مقاله یا اثر منتشر شدهٔ دیگری که در دسترس باشد که برای ارجاع دادن به آن باید نام کتاب، نام نویسنده، نام انتشارات را بنویسید. بعلاوه متن را از نظر املایی نیز تصحیح کنید. و آخرین نکته اینکه نصف پرسش را در عنوان و نصف دیگر را در متن نمی‌نوسیند. خود سوال در متن پرسش نیامده‌است! اگر تصحیح نکنید پرسش‌تان بسته و حذف خواهد شد. موفق باشید.

---

@Smhm @salar متوجه نمی‌شوم «اثبات عدد پی» یعنی چه؟ عدد پی یک ثابت است. مثلا تا حالا شنیدید «اثبات عدد یک»؟ جمله ناقص است، ثابت کنیم که عدد پی ... ؟ باید سه‌نقطه را پر کنید، مثلا تا دو رقم اعشار برابر با ۳.۱۴ است.

---

درسته جمله ناقص است
اثبات مقدار ثابت بودن عدد پی که در این صورت موجودیت هم اثبات میشه ولی مقدار از لحاظ جبری و اندازه هندسی، تفسیر آن در صفحه یا خط که بحث جداست
الآن اصلاح میکنم

---

@salar ثابت بودن عدد پی را اثبات نمی‌کنند. مثلا ثابت بودن رادیکال دو را ثابت نمی‌کنند. شاید ماهیت پرسش به خاطر ندانستن تعریف عدد پی است، که در اینصورت پرسش‌گر می‌تواند بپرسد «لطفا تعریف عدد پی را بگوئید». سپس اگر می‌خواهند بدانند آیا نسبت دو مقدار دیگر یا حاصل یک عبارت ریاضی دیگر نیز برابر با عدد پی می‌شود، ادامه دهند که «لطفا راهنمایی کنید که چرا پاسخ فلان چیز نیز مساوی با این عدد می‌شود». مثلا فردی تعریف عدد موهومی در اعداد مختلط را نمی‌داند، ابتدا می‌پرسد عدد موهومی چیست، سپس می‌گوید چرا انتگرال $\frac{4}{\pi}e^{\frac{2}{x}}$ روی دایرهٔ واحد در صفحهٔ مختلط برابر با $i$ می‌شود؟
اگر ثابتی را به وسیلهٔ یک تابع می‌خواهید تعریف کنید، آنگاه تابع بودنِ آن تابع، یعنی خروجیِ هر ورودی یکتا تنها یک مقدار یکتا است را باید ثابت کنید. بنابراین به نظر من بهتر است دقیق‌تر به پرسش‌تان فکر کنید که چه چیزی در ذهنتان سوال است و متن پرسش را ویرایش کنید.

---

گفته شما کاملاً درست است ولی عده ای بر این باور هستند که چهار ستون علم را به لرزه درآورده اند و چنین سوالاتی را پیش می آورند.
عدد پی یا نپر ویا...کشف و بعد نامگذاری شده اند حال این مسیر را در جهت عکس پیش می روند تا به تناقض برسند که کاری اشتباه است چون عدد $\pi$ بطور کامل محاسبه نشده و مسیر رفت کامل نشده تا در جهت عکس برگردیم.
متأسفانه چنین مسیر های اشتباه کم نیستند و تحقیق کننده را دچار سردرگمی میکنند.

---

سعی من بر این است تا سوال دوستمان را بطور کامل متوجه بشوم و بعد اگر توانستم پاسخ درست را با استدلال بدهم و اگر راهی نباشد ایشان را آگاه کنم.

---

از شما هم خیلی ممنونم ک حوصله ب خرج دادید و راهنمایی کردین

Answer 1

میتوان فرض کرد که دو دایره از بینهایت مثلث مانند شکل تشکیل شده است: که A مرکز هر دو دایره است. AB شعاع دایره کوچک و AD شعاع دایره بزرگ است. BC و DE هم قسمتی از محیط دایره است. به دلیل تشابه : $ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} $

Comments

خیلی ممنونم از جواب