تعداد حالاتی که $n$ تا از $10$ فرزند پسر باشد برابر است با:
$$ B_{n}= \binom{10}{n} $$
تعداد کل حالات:
فرزندی پسر نباشد یا $1$ پسر باشدیا ... یا همه فرزندان پسر باشد:
(تذکر: $n$ فرزند پسر باشد همان $10-n$ فرزند دختر باشد است؛ پس تمام حالات ممکن برای پسر بودن همان تمام حالات مسئله است.)
$$ \sum_{n=0}^{10} \binom{10}{n}=2^{10}=1024$$
احتمال اینکه $n$ فرزند پسر باشد:
$$P(B)=\frac{ \binom{10}{n}}{2^{10}}$$
احتمال اینکه حداکثر $n$ پسر باشد:
$$P(B)=\frac{ \sum_{i=0}^n \binom{10}{i}}{2^{10}}$$
باقی حالات(حداکثر یا حداقل) از حالات فوق با کمی تحلیل استخراج میشه.
اگر گفت حتماً $m$ فرزند جنسیتشان مشخص است آنگاه یک تغییر قبل از حل مسئله وجود دارد،در این صورت تعداد حالات کل برابر است با $2^{10-m}$ یعنی از ابتدا تعداد $m$ فرزند را ندید میگیریم تا در تله آموزشی نیفتیم.
مثالی میزنم تا شفاف باشد:
سوال: ما $10$ سکه داریم و $9$ تا را پرتاب کرده ایم احتمال اینکه سکه آخر رو بیایید چقد است؟
جواب: مسلماً کاری با $9$ سکه دیگر نداریم و یک سکه برای پرتاب داریم و احتمال آن برای رو آمدن برابر است با
$$P(رو)=\frac{1}{2}$$
